Necesito ayuda para aplicar la prueba de raíz para: ∑n=1∞(2e−8n−1)n∑n=1∞(2e−8n−1)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n

Question

Necesito ayuda para aplicar la prueba de raíz para: ∑n=1∞(2e−8n−1)n∑n=1∞(2e−8n−1)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n

cálculo
Matemáticas
análisis real
secuencias y series

Mirrana

No estoy seguro si estoy haciendo algo mal o no... Tengo una respuesta pero no me parece bien.

Dada la siguiente serie, determina si es convergente o divergente usando la prueba de la raíz o la razón. Si la prueba no es concluyente, use otra prueba.

$\sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{2}{{mi}^{- 8 norte} - 1})}^{norte}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n$

Aquí está mi proceso paso a paso. Tal vez me dejé algo fuera.

\underset{norte \to \infty}{límite} {| {(\frac{2}{{mi}^{- 8 norte} - 1})}^{norte} |}^{\frac{1}{norte}}

$\lim_{n\to\infty}\left|\left(\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n\right|^{\frac{1}{n}}$

= \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{2}{{mi}^{- 8 norte} - 1})

$=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)$

= - 2

$=-2$

Pero a pesar de $-2<1$ , Dudo mucho en afirmar que la serie es convergente. De alguna manera siento que la respuesta debería ser positiva, y no sé si debería tomar el valor absoluto del límite y decir que la serie es divergente.

colormegone

La esencia de la prueba de la raíz es comparar el límite del término general de la serie infinita con el término general de una serie geométrica. Ya que sabemos que

Σ_{n = 1}^{\infty} a \cdot r^{n}

$\ \Sigma_{n=1}^{\infty} a \cdot r^n \$ converge para

| r | < 1

$\ | r | < 1 \$ y diverge por

| r | > 1

$\ | r | > 1 \$ , es razonable que una serie infinita

Σ_{n = 1}^{\infty} (a_{n})^{n}

$\ \Sigma_{n=1}^{\infty} (a_n)^n \$ debe converger para

lim_{n \to \infty} | a_{n} | < 1

$\ \lim_{n \rightarrow \infty} | a_n | < 1 \$ y divergen cuando ese límite de valor absoluto excede 1 . Para su serie, la serie geométrica "correspondiente" es

Σ_{n = 1}^{\infty} (- 2)^{n}

$\ \Sigma_{n=1}^{\infty} (-2)^n \$ , que seguramente diverge.

Respuestas (3)

Necesito ayuda para aplicar la prueba de raíz para: ∑n=1∞(2e−8n−1)n∑n=1∞(2e−8n−1)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n

La esencia de la prueba de la raíz es comparar el límite del término general de la serie infinita con el término general de una serie geométrica. Ya que sabemos que $\ \Sigma_{n=1}^{\infty} a \cdot r^n \$ converge para $\ | r | < 1 \$ y diverge por $\ | r | > 1 \$ , es razonable que una serie infinita $\ \Sigma_{n=1}^{\infty} (a_n)^n \$ debe converger para $\ \lim_{n \rightarrow \infty} | a_n | < 1 \$ y divergen cuando ese límite de valor absoluto excede 1 . Para su serie, la serie geométrica "correspondiente" es $\ \Sigma_{n=1}^{\infty} (-2)^n \$ , que seguramente diverge.

¿Por qué? · Answer 1

Se toma el límite del valor absoluto del término general $\;\sqrt[\large n]{|a_n|}$ , y después de tomar la $n$ raíz enésima, lo que queda sigue siendo el valor absoluto de la raíz enésima. Tomando el límite del valor absoluto de la raíz enésima, en tu caso, te dará

\underset{norte \to \infty}{límite} {| {(\frac{2}{{mi}^{- 8 norte} - 1})}^{norte} |}^{\frac{1}{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} | \frac{2}{{mi}^{- 8 norte} - 1} | = 2

$\lim_{n\to\infty}\left|\left(\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n\right|^{\frac{1}{n}}\;=\;\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2}{e^{-8n}-1}\right| = 2$

Por lo tanto, en su caso, la serie de hecho será divergente.

Pensé que las barras de abdominales desaparecieron después de sacar la raíz enésima de todo...
No, en absoluto. Permanece. El $nth$ root no cambia el hecho de que lo que queda es el valor absoluto de la expresión "rooted".
Sí, agent154: puede ver el límite del valor absoluto como el valor absoluto del límite.
Actualicé mi pregunta para mostrar mi proceso de pensamiento... ¿tal vez podría señalar dónde me perdí algo?
El primer paso después de sacar la raíz n-ésima es un error: necesitamos mantener intacto el valor absoluto después de sacar la raíz n-ésima. Eso es crucial cuando prueba la convergencia absoluta, por ejemplo, de una serie alterna.
Gracias como siempre. Un día le pregunté a mi profesor sobre esto en clase, y le pregunté si una vez que usamos el valor absoluto y descubrimos que no había términos alternos, ¿podríamos quitar las barras? Supongo que no.

Mikasa · Answer 2

Es absolutamente necesario considerar $|u_n|$ bajo la

\sqrt[norte]{. . .}

$\sqrt[n]{...}$ porque la prueba nos dice que hagamos

\underset{X \to \infty}{límite} \sqrt[norte]{| {tu}_{norte} |}

$\lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}$ Y es por eso que encontrarías la serie divergente.

Aquí hay otra pregunta: ¿es $\lim_{n\to\infty}|a_n|=|\lim_{n\to\infty} a_n|$ ? De lo contrario, no tengo idea de cómo cambian las cosas.
Ten cuidado. Seguro que puede pasar que $\lim |a_n|$ existe y $\lim a_n$ ¡no es!
@TedShifrin: Sí, profesor. Acabo de anotar este asunto para esta serie. Por supuesto $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ y $\sum\frac{1}{n}$ tener un comportamiento notable. Gracias

gabrielchua · Answer 3

La razón por la que no deberíamos descartar el valor absoluto al principio es esta:

| z^{norte} | = | z | | z . . . z | = | z | | z | | z . . . z | = | z |^{norte}

$|z^n|=|z||z...z|=|z||z||z...z|=|z|^n$ para todo complejo z

Necesito ayuda para aplicar la prueba de raíz para: ∑n=1∞(2e−8n−1)n∑n=1∞(2e−8n−1)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n

Mirrana

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Respuestas (3)

¿Por qué?

Mirrana

¿Por qué?

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Mirrana

¿Por qué?

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¿Por qué?

Amzoti

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Mirrana

Mikasa

Ted Shifrin

Mikasa

gabrielchua

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 y ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 converge mostrar ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n converge absolutamente

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

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Interversión de límite y suma de secuencia de doble índice [cerrado]