Suma de vectores de aceleración

No tiene sentido que una masa puntual tenga 2 aceleraciones. Lo que podrías haber hecho es encontrar aceleraciones debidas a 2 fuerzas por separado. Puedes agregarlos como cuando$m= \text{constant}$,

$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=m(\vec{a_1}+\vec{a_2})$

Cuando se utiliza el símbolo de vectores, se ocupa automáticamente de sus direcciones.

Esto se debe al principio de superposición: cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, la fuerza neta es la suma de las fuerzas individuales:

$$\vec F_{net} = \sum \vec F_i$$ Sin embargo, esto solo es cierto cuando la relación entre la fuerza y ​​la aceleración es lineal .

Tomemos como ejemplo la fuerza gravitatoria: digamos que tienes tres cuerpos y ya has calculado$\vec a_1$y$\vec a_2$- las aceleraciones sentidas por el tercer cuerpo debidas a los otros dos. Entonces la fuerza sobre el tercero sería

$$m \vec a =\vec F_1 + \vec F_2= m \vec a_1 + m \vec a_2 = m(\vec a_1 + \vec a_2)=m\vec a_{1+2} = \vec F_{net}$$ ya que la fuerza es lineal en $\vec a$. Aquí $\vec a_{1+2}$- la aceleración total - es realmente $\vec a_1 + \vec a_2$.

Contraejemplo: si tuviera un entorno donde la aceleración es proporcional a la fuerza al cuadrado, entonces el principio de superposición no sería cierto. Digamos que esta relación cuadrática sería el caso de la fuerza gravitatoria, entonces la fuerza sobre el tercer cuerpo sería (solo estoy considerando la componente x aquí):

$$\begin{align} m a_x & = (F_{net})^2\\ &=( F_{1x} + F_{2x})^2\\ &=(m a_{1x} + m a_{2x})^2\\ & = (m a_{1x})^2+2m^2 a_{1x} a_{2x}+(m a_{2x} )^2\\ &=( F_{1x})^2+ (F_{2x})^2 + 2m^2 a_{1x} a_{2x}\\ \end{align}$$

La linealidad no está dada ($(a+b)^2\neq (a^2+b^2)$) y por lo tanto el principio de superposición no es válido. Puedes ver esto mirando el$2m^2 a_{1x}...$término: en principio el principio de superposición simplemente dice que la suma de las fuerzas tiene el mismo efecto que la combinación de las fuerzas individuales. Aunque aquí, la suma al cuadrado tiene el efecto de las fuerzas combinadas al cuadrado más otro término.

Esto a su vez significa que en este caso, la aceleración total que obtienes en el lado derecho no es solo$\vec a_1 + \vec a_2$.

Si bien la otra respuesta es completamente correcta, solo quiero escribir una respuesta más simplificada.

Es muy parecido a las distancias. Si camina 1 metro al norte y 1 metro al este, puede sumar los dos vectores de distancia y obtener$\sqrt2$m Noreste:

$$\vec{d}_1=1m[N]=(1,0),~~\vec d_2=1m[E]=(0,1)$$ $$\vec d=\vec d_1+\vec d_2=(1,1)=1m[N]+1m[E]=\sqrt2m[NE]$$

Sumar vectores de aceleración funciona de la misma manera que sumar vectores de distancia. Agrega los componentes correspondientes (x con x, y con y, etc., independientemente de las coordenadas que esté usando) y la magnitud y la dirección se resolverán por sí solas.

La expresión "aceleración total" no cabe si las aceleraciones tienen diferentes direcciones. El vector resultante es en realidad la "aceleración neta", o el efecto combinado de estas dos aceleraciones, o fuerzas equivalentes. El vector resultante asegura que solo se agreguen los componentes efectivos y que los efectos opuestos se cancelen.

Tal vez un ejemplo pueda ayudar. Considere el siguiente sistema, donde dos aceleraciones actúan sobre una masa m.

El vector resultante asegura que el$a\sin \theta$los componentes se cancelan y el$a\cos \theta$se suman los componentes. La resultante da la vista percibida físicamente del movimiento del objeto. Una respuesta más simple sería que la aceleración es una cantidad física con una dirección (es decir, un vector), y cuando desea combinar dos aceleraciones, calcula su vector resultante.