Las dos causas del factor 2 en el efecto de Coriolis

Acá hay uno$^1$forma de verlo a través de un potencial dependiente de la velocidad. El potencial de Coriolis es

$$U_{\rm cor} ~=~ -m({\bf v} \times {\bf \Omega})\cdot{\bf r} ~=~-{\bf v}\cdot ({\bf \Omega}\times{\bf r} ),\tag{1}$$

cf. Árbitro. 1. El factor$\color{red}{2}$proviene de dos términos diferentes en la fórmula de fuerza correspondiente

$$\begin{align} {\bf F}~=~&\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf r}}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} ({\bf r}\times {\bf \Omega}) + m{\bf v} \times {\bf \Omega}\cr ~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leibniz}\\ \text{rule}\end{matrix}}{=}&~\underbrace{\color{red}{2}m {\bf v} \times {\bf \Omega}}_{\text{Coriolis force}} + \underbrace{m{\bf r} \times \dot{{\bf \Omega}}}_{\text{Euler force}} \end{align}.\tag{2}$$

Referencias:

1. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1, (1976);$\S$39.

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$^1$Alternativamente, en esta publicación de Phys.SE se proporciona una derivación elemental de la aceleración de Coriolis , donde el factor$\color{red}{2}$surge de un coeficiente binomial$\begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}=\color{red}{2}$en un término cruzado.

Tome una partícula libre que se mueve en un plano en coordenadas polares

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{pmatrix}$$

La velocidad se encuentra a partir de la regla de la cadena, con clara separación entre las componentes radial y tangencial:

$$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}$$

La aceleración se encuentra de nuevo por diferenciación.

$$\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = \frac{{\rm d}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}}{{\rm d}t} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \frac{{\rm d}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}}{{\rm d}t}$$

$$=\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix}$$

$$= \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \left[\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix}\right]$$

Lo anterior es primero una matriz de rotación por$\theta$, luego el efecto de la rotación sobre la velocidad (local) y finalmente la aceleración (local). Observe que en la dirección radial la aceleración local es solo$\ddot{r}$, y en la dirección tangencial tiene dos términos. Una es la aceleración de Euler.$r \ddot{\theta}$y la otra 1/2 el término de coriolis. Esta parte se debe al cambio de dirección de la velocidad radial.

$$\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = ({\rm Rotation}) \left[ \begin{pmatrix} -r \dot{\theta}^2 \\ \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta} + \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} \right]$$

ahora la primera parte$(-r \dot{\theta}^2, \dot{r} \dot{\theta} )$contiene la aceleración centrífuga en dirección radial y el cambio de orientación de la aceleración tangencial que es la otra mitad del efecto coriolis.

Pero encuentro todo esto confuso. Prefiero mirar una foto:

Los cambios en el vector de velocidad en coordenadas radiales (donde el centro de rotación está en la dirección -x . Los dos$\dot{r} \dot{\theta}$términos en el término de Coriolis son de a) el giro de$\dot{r}$y b) extensión de$r \dot{\theta}$.

Las otras respuestas son fantásticas y las matemáticas son exactamente correctas, pero esta respuesta proporciona una intuición adicional detrás de las dos causas "separadas". Consulte el párrafo final para conocer la motivación de esta respuesta adicional.

Imagine un tren que se mueve directamente hacia el norte a una velocidad constante en relación con el suelo mientras se encuentra en el hemisferio norte. A medida que viaja más al norte, la velocidad hacia el este de la superficie de la Tierra disminuye. El suelo, por lo tanto, debe ejercer una fuerza occidental (contrarrestando la Fuerza de Coriolis del este) sobre el tren para reducir la velocidad y darle una velocidad este/oeste de cero en relación con el suelo. Si derivamos la ecuación de esta fuerza, esto es exactamente la mitad del efecto de Coriolis. Entonces, podríamos razonar erróneamente que todas las demás fuerzas involucradas son radiales (para hacerlo más fácil, suponga que la Tierra es una esfera perfecta). Este razonamiento es incorrecto; considere la imagen de abajo.

En esta imagen, vemos la Tierra desde arriba del Polo Norte. Nuestro tren (el punto rojo) se mueve hacia el norte. Las velocidades están en rojo y las fuerzas en azul.

La imagen de la izquierda muestra el efecto descrito anteriormente. A medida que el tren se mueve hacia el norte, el suelo va "más lento", por lo que debe ejercer una "fuerza" hacia el oeste sobre el tren. Esto representa exactamente la mitad de la fuerza de Coriolis. (Para aclarar, la Fuerza de Coriolis está dirigida hacia el este, y el suelo ejerce una fuerza opuesta hacia el oeste sobre el tren).

La imagen de la derecha muestra el otro efecto en juego. Considere dos trenes que se mueven hacia el norte a las mismas velocidades y las mismas latitudes, pero en diferentes longitudes (uno está directamente al este del otro). Claramente, las direcciones de las velocidades del tren (las dos flechas rojas) son diferentes en el espacio tridimensional. La fuerza ejercida sobre el suelo por el tren no puede ser puramente radial para transformar la velocidad del tren occidental en la velocidad del tren oriental (claramente hay una componente occidental de esta fuerza). Además, el efecto no se tiene en cuenta en el razonamiento anterior o en la imagen de la izquierda, ya que no hay desplazamiento hacia el norte (ambos se mueven hacia el norte, pero están en la misma latitud).

En otras palabras, la mitad (es fácil demostrar matemáticamente que es exactamente la mitad) de la fuerza de Coriolis en esta situación es causada por el hecho de que el suelo "se mueve más lento" a medida que avanzamos hacia el norte, y la otra mitad es causada por el hecho de que debemos transformar nuestra velocidad norte constante a medida que la tierra gira y nuestra definición de norte cambia.

Con suerte, esto lo deja más claro para aquellos que, como yo, pueden seguir las matemáticas pero no la intuición detrás de las otras respuestas.

Motivación para la respuesta adicional: las otras dos respuestas son fantásticas y las matemáticas son correctas, pero después de leerlas varias veces, todavía me faltaba intuición. Además, lo derivé de los primeros principios de una manera muy diferente a las otras respuestas, obtuve la mitad de la respuesta y no pude ver dónde salió mal mi lógica (resulta que estaba explicando que "el suelo se mueve más lento "a medida que avanzamos hacia el norte", pero no el otro efecto). El interrogador aquí tenía exactamente el mismo problema, pero tenía su pregunta marcada como duplicada, por lo que no pude responder allí. Al igual que las respuestas aquí, la respuesta allí proporciona una derivación matemática fantástica, pero no proporciona un desglose intuitivo de los dos factores "separados".