Número de ocurrencias de un número nnn en ⌊0–√⌋,⌊1–√⌋,⌊2–√⌋,…⌊0⌋,⌊1⌋,⌊2⌋,…\lfloor \sqrt{0} \rfloor, \lpiso \sqrt{1} \rpiso, \lpiso \sqrt{2} \rpiso, \puntos

Recientemente, mientras aprendía Python (el lenguaje de programación), comencé a jugar para generar la siguiente secuencia:

$$\lfloor \sqrt{0} \rfloor, \lfloor \sqrt{1} \rfloor, \lfloor \sqrt{2} \rfloor, \lfloor \sqrt{3} \rfloor, \dots$$

Curiosamente, esto es equivalente a

$$0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, \dots$$

Intenté esto hasta$\lfloor \sqrt{10000} \rfloor$y vi que cada$n \in [0,99]$ocurre exactamente$2n+1$veces en la secuencia.

Siendo curioso, me interesa probar esto para todos.$n \in \Bbb N$(o encontrar un contraejemplo), pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Lo único relacionado que he encontrado es que determinar si$\lfloor \sqrt{p} \rfloor$($p$es primo) genera todos los números naturales es un problema sin resolver , pero ¿podemos hacer una prueba simple de esto usando todos los números naturales? Todos los consejos son bienvenidos.