Base de Schmidt: entrelazamiento

Esto se debe a que las bases de Schmidt dependen del vector que desea descomponer: dado un vector$v\in\mathcal{H}$Puedes encontrar bases$\{u_i\}$para$\mathcal{H}_A$y$\{v_j\}$para$\mathcal{H}_B$tal que

$$v=\sum_k \lambda_k u_k\otimes v_k.\tag{1}$$ Las bases $\{u_i\}$y $\{v_j\}$depender de $v$de una manera no lineal (¿por qué? son distintos de cero para $v=0$) y no puede esperar que los argumentos algebraicos lineales sobre la dimensión se mantengan como antes. La manera de expresar esto es que las bases de Schmidt de $v$combinar para formar una base $\{u_i\otimes v_j\}$para $\mathcal{H}$tal que los coeficientes fuera de la diagonal de $v$en la expansión $$v=\sum_{i,j} \lambda_{ij} \,u_i\otimes v_j\tag{2}$$ desaparecer. (Todavía puede expresar todos los vectores en $\mathcal{H}$en forma de ec. (2), por supuesto, y la base tiene tamaño $\text{dim}(\mathcal{H}_A)\times\text{dim}(\mathcal{H}_B)$, como debería, pero sólo un subespacio de dimensión $\text{min}\{\text{dim}(\mathcal{H}_A),\text{dim}(\mathcal{H}_B)\}$puede escribirse como en la ec. (1). Así es como coinciden las dimensiones.)

Esto se deduce de la Descomposición de valores singulares (vaya a wikipedia).

Dado cualquier estado$\psi \in H = H_A \otimes H_B$, se puede escribir como

$$\begin{align} \psi = \sum_{nm} W_{nm} \psi_n^A \psi_m^B, \end{align}$$ dónde $\{ \psi_n^\xi \}$formar una base para el subespacio $H_\xi$. Supongamos que las dimensiones de $H_A, H_B$son finitos (de lo contrario, su afirmación es trivialmente cierta). Por supuesto, en general, $\dim(H_A) \neq \dim(H_B)$. Entonces el índice $n$en la suma va de $1$a $\dim(H_A)$y $m$de $1$a $\dim(H_B)$.

Así la matriz de coeficientes$W_{nm}$es un$\dim(H_A) \times \dim(H_B)$matriz rectangular en general. La descomposición en valores singulares dice que se puede escribir como (en forma de matriz),

$$\begin{align} W = U\Sigma V^\dagger, \end{align}$$ dónde $U$es un $\dim(H_A)$matriz unitaria y $V$es un $\dim(H_B)$matriz unitaria, y $\Sigma$es una matriz diagonal rectangular de dimensiones $\dim(H_A) \times \dim(H_B)$.

Desde$\Sigma$es diagonal, y es rectangular en general, solo hay$\min(\dim(H_A), \dim(H_B))$valores tan singulares.

El$U$matriz es una rotación de la$\psi_n^A$base, mientras$V^\dagger$es una rotación de la$\psi_n^B$base. Así, el estado original se escribe en la forma de Schmidt

$$\begin{align} \psi = \sum_k^{\min(\dim(H_A),\dim(H_B))} \sigma_k \phi_k^A \phi_k^B, \end{align}$$ dónde $\sigma_k$son los $\min(\dim(H_A),\dim(H_B))$valores singulares.

Así, el Estado sólo exige$\min(\dim(H_A),\dim(H_B))$vectores base (de cualquiera de$A$o$B$) para describirlo.