Estrategia general para resolver ecuaciones de valor absoluto que involucran la suma de múltiples funciones de valor absoluto

Tengo problemas para resolver ecuaciones de valor absoluto que implican la suma de varias funciones de valor absoluto. Por ejemplo, tome el problema

$|x+3|-|x+1|+ x+2 =0$

Si todas las salidas de los valores absolutos son no negativas al mismo tiempo:

$x+3-(x+1)+ x+2 =0$

$x+3-x-1+ x+2 =0$

$2+x+2 =0$

$x=-4$

Y, sin embargo, cuando conectas -4 en$|x+3|-|x+1|+ x+2 =0$, no funciona.

Lo que me confunde aún más es por qué x=-4 no funciona cuando se conecta a la ecuación original, cuando, si todas las salidas de los valores absolutos no son negativas al mismo tiempo, entonces$x+3−(x+1)+x+2=|x+3|−|x+1|+x+2$.

No solo estoy buscando una solución a este problema. Quiero saber qué métodos puedo usar para resolver ecuaciones de valor absoluto. Porque los métodos que uso para resolver problemas de valor absoluto que involucran solo 1 función de valor absoluto (o problemas de valor absoluto que involucran la multiplicación y división de múltiples valores absolutos) no funcionan aquí, como se ve arriba.

¡Gracias de antemano!