Área de la región sombreada en un cuadrado

Question

Área de la región sombreada en un cuadrado

área
lugar
cálculo
integración
Matemáticas
álgebra-precálculo

utkarsh.naman

Mi acercamiento

El área de la región sombreada = 8 × el área de

Dado que los puntos de la región sombreada están más cerca del centro que el límite del cuadrado.

Hablemos del límite de la región sombreada

Por lo tanto, el límite de la región sombreada debe ser el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia desde el centro del cuadrado = distancia desde el límite.

Encontremos el lugar geométrico del límite de la región sombreada

De la segunda figura ${\sqrt {h^2+k^2} } = {\sqrt {(h-h)^2 + (k-{a\over 2})^2 }}$

Esto se simplifica a ser:

$k = {a^2 - 4h^2\over 4a}$

$y = {a^2 - 4x^2\over 4a}$

También la curva interseca la recta (la hipotenusa del triángulo) y= x

Para el punto de intersección:

${a^2 - 4x^2\over 4a} = x$

$4x^2 +4ax - a^2 = 0$ $x = {-4a ± \sqrt{16a^2 - 4×4×(-a^2)}\over 8}$ $x = a{(\sqrt{2} ± 1)\over 2}$

Solución 1: $x = a{(\sqrt{2} + 1)\over 2}$

Solución 2: $x = a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}$

La solución 1 se puede descartar como $x = a{(\sqrt{2} + 1)\over 2} ≈ 1.207106 a > {a\over 2}$

Solución 2: $a{(\sqrt{2} - 1)\over 2} ≈ 0.2071 a < {a\over 2}$

de 0 a $a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}$ : La curva (límite de la región sombreada) se encuentra por encima de la línea $y=x$

entonces $dA = ({a^2\over 4a} - {4x^2\over 4a} - x)dx$

$dA = ({a\over 4} - {x^2\over a} - x)dx$

$\int_{0}^{A} dA = \int_{0}^{a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}} ({a^2\over 4a} - {4x^2\over 4a} - x)dx$

un = $({a\over 4}x - {x^3\over 3a} - {x^2\over 2})]_{0}^{{a{(\sqrt{2} - 1)\over 2}}}$

$A = {a^2\over 8}(\sqrt{2}-1) - {a^2\over 24}(\sqrt{2}-1)^3 - {a^2\over 8} (\sqrt{2}-1)^2$

$= {a^2\over 8}(\sqrt{2}-1) \Biggl( 1 - {(\sqrt{2}-1)^2\over 3} - (\sqrt{2} -1)\Biggr)$

Esto se simplifica para ser igual a ${a^2\over 8}(\sqrt{2}-1)({3+5\sqrt{2}\over 3})$

$= {(7- 2\sqrt{2})\over 8×3}a^2$

Área de la figura sombreada = 8A

$A_{total}$ = ${(7- 2\sqrt{2})\over 3}a^2$

Pero la respuesta es:

${4\sqrt{2}-5\over 3}a^2$

No sé dónde me equivoqué, y también lo he vuelto a calcular y el resultado es el mismo.

¿Me perdí algo importante o calculé mal?

Cualquier ayuda de pista o sugerencia o solución elaborada sería apreciada.

utkarsh.naman

Muchas gracias a todos por proporcionar soluciones elaboradas y también señalar el error que había cometido. El error fue en el cálculo de A. Fue un error de cálculo. Muchas gracias a todos.

Respuestas (4)

Área de la región sombreada en un cuadrado

Muchas gracias a todos por proporcionar soluciones elaboradas y también señalar el error que había cometido. El error fue en el cálculo de A. Fue un error de cálculo. Muchas gracias a todos.

Erín glorioso · Answer 1

Usando coordenadas polares

$(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$

En el rango de $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ queremos

$r \le \left( \dfrac{a}{2} - r \cos \theta \right )$

Por eso,

$r \le \dfrac{ a } { 2 (1 + \cos \theta ) }$

El área encerrada por esta curva polar

$r(\theta) = \dfrac{ a } { 2 (1 + \cos \theta ) } =\dfrac{a}{4 \cos^2(\dfrac{\theta}{2}) }$ es dado por

$A = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^\dfrac{\pi}{4} r^2(\theta) \text{d} \theta = \dfrac{1}{2} \int_0^\dfrac{\pi}{4} \dfrac{a^2}{16 \cos^4 (\dfrac{\theta}{2})} \text{d} \theta = \dfrac{a^2}{32} \int_0^{\dfrac{\pi}{4}} \sec^4(\dfrac{\theta}{2}) \text{d} \theta$

Ahora deja $u = \dfrac{\theta}{2}$ entonces

$A = \dfrac{a^2}{16} \displaystyle \int_0^\dfrac{\pi}{8} \sec^4(u) du$

Y desde $\sec^2(u) = \tan^2(u) + 1$ , lo anterior se convierte en

$A = \dfrac{a^2}{16} \displaystyle \int_0^\dfrac{\pi}{8} (\tan^2(u) + 1) \sec^2(u) du$

Y esto se reduce a

$A = \dfrac{a^2}{16} ( \dfrac{t^3}{3} + t )$

dónde $t = \tan(\dfrac{\pi}{8} ) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4}) + 1} = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{2} + 1 } = \sqrt{2} - 1$

Por lo tanto,

$A = \dfrac{a^2}{48} ( 2 \sqrt{2} - 3(2) + 3 \sqrt{2} - 1 + 3 \sqrt{2} - 3 ) = \dfrac{a^2}{24} (4 \sqrt{2} - 5)$

Y como hay $8$ de estas áreas en el cuadrado, entonces la respuesta es

$\text{Area} = 8 A = \dfrac{a^2}{3} ( 4 \sqrt{2} - 5)$

Andrei · Answer 2

\int_{0}^{\frac{a}{2} (\sqrt{2} - 1)} (\frac{a}{4} - \frac{X^{2}}{a} - X) d X = \frac{a X}{4} - \frac{X^{3}}{3 a} - \frac{X^{2}}{2} |_{0}^{\frac{a}{2} (\sqrt{2} - 1)} = a^{2} (\frac{\sqrt{2} - 1}{8} - \frac{(\sqrt{2} - 1)^{3}}{24} - \frac{(\sqrt{2} - 1)^{2}}{8}) = \frac{a^{2}}{24} (3 \sqrt{2} - 3 - 2 \sqrt{2} + 6 - 3 \sqrt{2} + 1 - 3 (2 + 1 - 2 \sqrt{2})) = \frac{a^{2}}{24} (4 \sqrt{2} - 5)

$\int_0^{\frac a2(\sqrt 2 -1)}(\frac a4-\frac{x^2}a-x)dx=\frac{ax}4-\frac{x^3}{3a}-\frac {x^2}2\bigg|_0^{\frac a2(\sqrt 2 -1)}\\=a^2\left(\frac{\sqrt 2-1}{8}-\frac{(\sqrt 2-1)^3}{24}-\frac{(\sqrt 2-1)^2}8\right)\\=\frac{a^2}{24}(3\sqrt2-3-2\sqrt2+6-3\sqrt 2+1-3(2+1-2\sqrt 2))\\=\frac{a^2}{24}(4\sqrt 2-5)$

Tu error es cuando hiciste la simplificación y obtuviste $3+5\sqrt 2$ . eso debería ser $3-\sqrt 2$ . Entonces

\frac{a^{2}}{8} (\sqrt{2} - 1) \frac{3 - \sqrt{2}}{3} = \frac{a^{2}}{24} (\sqrt{2} (3 + 1) - 3 - 2)

$\frac{a^2}8(\sqrt 2-1)\frac{3-\sqrt 2}3=\frac{a^2}{24}(\sqrt 2(3+1)-3-2)$

Sí. Lo tengo. Calculé mal eso al multiplicar con el signo '-'

cuanto · Answer 3

Tenga en cuenta que

1 - \frac{(\sqrt{2} - 1)^{2}}{3} - (\sqrt{2} - 1) = \frac{3 - \sqrt{2}}{3}

$1 - {(\sqrt{2}-1)^2\over 3} - (\sqrt{2} -1)= \frac{3-\sqrt2}3$ no

\frac{3 + 5 \sqrt{2}}{3}

${3+5\sqrt{2}\over 3}$ .

utkarsh.naman · Answer 4

El problema estaba aquí A = ${a^2\over 8}(\sqrt{2}-1) \Biggl( 1 - {(\sqrt{2}-1)^2\over 3} - (\sqrt{2} -1)\Biggr)$

esto es igual a $a^2(\sqrt{2} -1){(3-\sqrt{2})\over 8×3}$

∴ $A_{total}$ = $8A = a^2{(4\sqrt{2}-5)\over 3}$

Muchas gracias chicos por proporcionar diferentes formas de solución y errores en mi pregunta.

Área de la región sombreada en un cuadrado

utkarsh.naman

utkarsh.naman

Respuestas (4)

Erín glorioso

Andrei

utkarsh.naman

cuanto

utkarsh.naman

utkarsh.naman

utkarsh.naman

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