Derivada covariante y regla de Leibniz

Question

Derivada covariante y regla de Leibniz

Física
covarianza
cálculo tensorial
relatividad general
geometría diferencial

cincuenta y ocho

Leí la página de Wikipedia sobre la derivada covariante, mi principal problema está en esta parte:

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description

Algunas de las fórmulas parecen dar lugar a contradicciones, supongo que estoy cometiendo algunos errores.

Aquí hay algunas fórmulas de esa página.

Definen la derivada covariante en la dirección $\mathbf e_j$ , denotado $\nabla_{\mathbf e_j}$ o $\nabla_j$ de modo que:

$\nabla_{\mathbf e_j} \mathbf e _i = \nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Y defínalo para que obedezca la regla de Leibniz.

Luego pasan a demostrar que

Derivada covariante

Donde parece que usaron

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i}$

Pero luego definen aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Notation

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{\ \ ki}$

1) ¿Es esto un malentendido mío o un problema en Wikipedia?

También en lugar de la definición:

$\nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Vi en otros lugares los símbolos de Christoffel definidos así

$\partial_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

2) ¿La derivada covariante de los vectores base es lo mismo que la derivada regular de un vector base? ¿O son solo dos definiciones diferentes de los símbolos de Christoffel?

Otra contradicción que vi es que escriben la siguiente fórmula:

al final de la sección "Descripción de coordenadas"

donde agrega aquí un Gamma para cada índice superior y resta un Gamma para cada índice inferior de acuerdo con la regla escrita allí.

Según esto me parece que:

$\nabla_j \mathbf e _i = \partial_j \mathbf e _i - \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Lo cual también es inconsistente con la forma en que definieron la derivada covariante

3) ¿Es esto una contradicción o una confusión mía?

Muchas gracias, lo siento, es tan largo.

Si es un problema, puedo dividir la pregunta en dos preguntas o algo así.

david z

Por lo general, nos gusta tener solo una pregunta por publicación, pero están lo suficientemente relacionadas como para dejarlas juntas.

Respuestas (1)

Derivada covariante y regla de Leibniz

Por lo general, nos gusta tener solo una pregunta por publicación, pero están lo suficientemente relacionadas como para dejarlas juntas.

usuario10851 · Answer 1

1) La confusión proviene de una omisión de paréntesis en estas notaciones. En el primer caso, efectivamente tenemos

\nabla_{{\vec{mi}}_{i}} ({tu}^{j}) = \frac{\partial {tu}^{j}}{\partial X^{i}},

$\nabla_{\vec{e}_i}(u^j) = \frac{\partial u^j}{\partial x^i},$ desde

u^{j}

$u^j$ es solo un componente no específico de

\vec{u}

$\vec{u}$ . En el segundo caso, se trata de tomar la componente después de derivar el tensor:

{tu}^{j}_{; i} = (\nabla_{{\vec{mi}}_{i}} \vec{tu})^{j} = \frac{\partial {tu}^{j}}{\partial X^{i}} + {tu}^{k} Γ_{k i}^{j} .

$u^j{}_{;i} = (\nabla_{\vec{e}_i} \vec{u})^j = \frac{\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{ki}.$ Estoy usando flechas en lugar de tipo romano para indicar vectores con el fin de enfatizar qué cosas son vectores completos (que pueden tener subíndices, por ejemplo

{\vec{e}}_{i}

$\vec{e}_i$ es el

i

$i$ -th vector en su base) y qué cosas son componentes.

2) Solo debe haber un conjunto de símbolos de Christoffel. ¿En qué contexto fue esta la definición?

Además, las derivadas covariantes se reducen a derivadas parciales en escalares .

3) La confusión aquí proviene del uso de $i$ en $\vec{e}_i$ como una etiqueta sobre la cual se utiliza el vector base, en lugar de sobre qué componente de un vector dado está en su lugar. Pensar en $\vec{e}_i$ como un símbolo, como $\hat{x}$ o $\hat{y}$ . (Esto se indica con el tipo de letra romano en lugar de cursiva en la pregunta, que nuevamente cambié a una flecha para llamar la atención sobre la naturaleza vectorial del símbolo). Usamos subíndices inferiores para que no interfieran con el superior superíndices que etiquetarían los componentes. Eso es, $\vec{e}_i$ tiene componentes $e_i^0$ , $e_i^1$ , etc. Como un objeto cuyos componentes están indexados con índices superiores , se usa un término de Christoffel positivo:

(\nabla_{j} {\vec{mi}}_{i})^{k} = \partial_{j} {mi}_{i}^{k} + Γ_{j yo}^{k} {mi}_{i}^{yo} .

$(\nabla_j \vec{e}_i)^k = \partial_j e_i^k + \Gamma^k_{jl} e_i^l.$ Tenga en cuenta que

e_{i}^{k} = δ_{i}^{k}

$e_i^k = \delta_i^k$ , que es una constante y, por lo tanto, tiene derivada parcial nula. Contraer el símbolo de Christoffel con el delta de Kronecker en el segundo término deja solo

Γ_{j i}^{k}

$\Gamma^k_{ji}$ , como se esperaba.

sobre la pregunta 2, estaba en línea en una conferencia en video, en la que no te haré sentar a menos que estés interesado, también lo vi en una publicación del foro en el foro de Física mientras buscaba una respuesta para esto en google, aquí está la publicación: physicsforums.com/showpost.php?p=3991829&postcount=3
Otra razón por la que esa definición tiene sentido para mí es que en la primera derivación que mostré, parece que la derivada covariante actúa como la derivada regular cuando actúa sobre $u^j$ , tal como escribiste en la respuesta 1, no entiendo por qué es esto, no entiendo lo que quieres decir con $u^j$ es un "componente no específico"
@fiftyeight Esa publicación en el foro sería correcta si todos los parciales fueran reemplazados por derivados covariantes. El autor está trabajando con notación (no estándar) en la que las derivadas de vectores se entienden como covariantes, en lugar del vector de derivadas parciales de los componentes. Sin embargo, tenga en cuenta que exigimos que la derivada covariante concuerde con la derivada parcial cuando actúa sobre escalares, por lo que $\partial_\alpha (A^i) = \nabla_\alpha (A^i)$ siempre.
@fiftyeight Para aclarar con respecto a su segundo comentario: Sí, la covariante y las derivadas parciales de $u^j$ son lo mismo. Por "componente no específico" quise decir $u^j$ podría ser cualquiera de los cuatro componentes escalares de $\vec{u}$ , y cuál depende del término de la suma implícita que esté considerando.
En cuanto a por qué las dos derivadas están de acuerdo con los escalares, mi respuesta es que esta es una propiedad deseada de la derivada covariante que aplicamos, al igual que la linealidad y que obedece a la regla (producto) de Leibniz. (Quizás alguien tenga una razón más esclarecedora). Estas propiedades, junto con un par de otras propiedades relacionadas con las contracciones y las derivadas de la métrica, definen de manera única la derivada covariante que usamos en GR estándar.
OK, gracias, lo último si me lo permite, realmente no entiendo por qué $u^j$ aquí hay un escalar, por lo que sé, los escalares son objetos que no se transforman al cambiar las coordenadas. no $u^j$ transforma como un vector contravariante?
Buena atrapada. Por "escalar" aquí me refiero a "entidad de un solo componente" o mejor aún "mapa de la variedad a los reales". De hecho, el $j$ -th componente de un vector cambiará al cambiar las coordenadas. En cualquier sistema de coordenadas fijo, $u^j$ (para fijo $j$ ) es solo una función de valor real de su variedad, y es en tales objetos que deseamos que las dos derivadas concuerden.

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