Conmutador de derivadas covariantes actuando sobre un vector densidad

Question

Conmutador de derivadas covariantes actuando sobre un vector densidad

Física
covarianza
cálculo tensorial
relatividad general
geometría diferencial

rossng

Dejar $\mathfrak n^\alpha$ sea un vector densidad de peso 1. Defina la derivada covariante $\nabla$ tal que bajo una transformación de coordenadas $x^\mu \to \bar x^\mu$

\nabla_{ρ} {norte}^{α} \to | \frac{d {\bar{X}}^{m}}{d X^{v}} | \frac{\partial X^{σ}}{\partial {\bar{X}}^{ρ}} \frac{\partial {\bar{X}}^{α}}{\partial X^{β}} \nabla_{σ} {norte}^{β}

$\nabla_\rho \mathfrak n^\alpha \to \left\lvert \frac{\mathrm d \bar x^\mu}{\mathrm d x^\nu} \right\rvert \frac{\partial x^\sigma}{\partial \bar x^\rho} \frac{\partial \bar x^\alpha}{\partial x^\beta} \nabla_\sigma \mathfrak n^\beta$ ¿Es esta la forma correcta de la derivada covariante?:

q_{v}^{α} \equiv \nabla_{v} {norte}^{α} = \partial_{v} {norte}^{α} + Γ_{v β}^{α} {norte}^{β} - Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{α}

$\mathfrak q_\nu^\alpha \equiv \nabla_\nu \mathfrak n^\alpha = \partial_\nu \mathfrak n^\alpha + \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\alpha$ Estoy tratando de calcular la acción de un conmutador de derivadas covariantes en

n^{α}

$\mathfrak n^\alpha$ , y en última instancia, el análogo a lo que significa el tensor de Ricci para los vectores. Esto es lo que tengo hasta ahora:

\nabla_{m} q_{v}^{α} - \nabla_{v} q_{m}^{α} = (\partial_{m} q_{v}^{α} + Γ_{m β}^{α} q_{v}^{β} - Γ_{m v}^{σ} q_{σ}^{α} - Γ_{m ρ}^{ρ} q_{v}^{α}) - (\partial_{v} q_{m}^{α} + Γ_{v β}^{α} q_{m}^{β} - Γ_{v m}^{σ} q_{σ}^{α} - Γ_{v ρ}^{ρ} q_{m}^{α})

$\nabla_\mu \mathfrak q_\nu^\alpha - \nabla_\nu \mathfrak q_\mu^\alpha = (\partial_\mu \mathfrak q_\nu^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak q_\nu^\beta - \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \mathfrak q_\sigma^\alpha - \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak q_\nu^\alpha) - (\partial_\nu \mathfrak q_\mu^\alpha + \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak q_\mu^\beta - \Gamma^\sigma_{\nu\mu} \mathfrak q_\sigma^\alpha - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak q_\mu^\alpha)$

\begin{matrix} = (\partial_{m} (Γ_{v β}^{α} {norte}^{β} - Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{α}) + Γ_{m β}^{α} q_{v}^{β} - Γ_{m ρ}^{ρ} (\partial_{v} {norte}^{α} + Γ_{v β}^{α} {norte}^{β})) - \\ (\partial_{v} (Γ_{m β}^{α} {norte}^{β} - Γ_{m ρ}^{ρ} {norte}^{α}) + Γ_{v β}^{α} q_{m}^{β} - Γ_{v ρ}^{ρ} (\partial_{m} {norte}^{α} + Γ_{m β}^{α} {norte}^{β})) \end{matrix}

$\begin{multline} {}=(\partial_\mu (\Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\alpha ) + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak q_\nu^\beta - \Gamma^\rho_{\mu\rho} (\partial_\nu \mathfrak n^\alpha + \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta)) - {} \\ (\partial_\nu (\Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak n^\beta - \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak n^\alpha ) + \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak q_\mu^\beta - \Gamma^\rho_{\nu\rho} (\partial_\mu \mathfrak n^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak n^\beta)) \end{multline}$

\begin{matrix} = (\partial_{m} Γ_{v β}^{α} {norte}^{β} - \partial_{m} Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{α} + Γ_{m β}^{α} (Γ_{v γ}^{β} {norte}^{γ} - Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{β}) - Γ_{m ρ}^{ρ} Γ_{v β}^{α} {norte}^{β}) - \\ (\partial_{v} Γ_{m β}^{α} {norte}^{β} - \partial_{v} Γ_{m ρ}^{ρ} {norte}^{α} + Γ_{v β}^{α} (Γ_{m γ}^{β} {norte}^{γ} - Γ_{m ρ}^{ρ} {norte}^{β}) - Γ_{v ρ}^{ρ} Γ_{m β}^{α} {norte}^{β}) \end{matrix}

$\begin{multline} {}=(\partial_\mu \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta - \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} (\Gamma^\beta_{\nu\gamma} \mathfrak n^\gamma - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\beta ) - \Gamma^\rho_{\mu\rho} \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta) - {} \\ (\partial_\nu \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak n^\beta - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak n^\alpha + \Gamma^\alpha_{\nu\beta} (\Gamma^\beta_{\mu\gamma} \mathfrak n^\gamma - \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak n^\beta ) - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak n^\beta) \end{multline}$

\begin{matrix} = R_{β m v}^{α} {norte}^{β} + (- \partial_{m} Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{α} - Γ_{m β}^{α} Γ_{v ρ}^{ρ} {norte}^{β} - Γ_{m ρ}^{ρ} Γ_{v β}^{α} {norte}^{β}) - (- \partial_{v} Γ_{m ρ}^{ρ} {norte}^{α} - Γ_{v β}^{α} Γ_{m ρ}^{ρ} {norte}^{β} - Γ_{v ρ}^{ρ} Γ_{m β}^{α} {norte}^{β}) \end{matrix}

$\begin{multline} {}=R^\alpha_{\beta\mu\nu} \mathfrak n^\beta + (- \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\alpha - \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \Gamma^\rho_{\nu\rho} \mathfrak n^\beta - \Gamma^\rho_{\mu\rho} \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \mathfrak n^\beta) - ( - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak n^\alpha - \Gamma^\alpha_{\nu\beta} \Gamma^\rho_{\mu\rho} \mathfrak n^\beta - \Gamma^\rho_{\nu\rho} \Gamma^\alpha_{\mu\beta} \mathfrak n^\beta) \end{multline}$

\nabla_{m} \nabla_{v} {norte}^{α} - \nabla_{v} \nabla_{m} {norte}^{α} = R_{β m v}^{α} {norte}^{β} - (\partial_{m} Γ_{v ρ}^{ρ} - \partial_{v} Γ_{m ρ}^{ρ}) {norte}^{α}

$\nabla_\mu \nabla_\nu \mathfrak n^\alpha - \nabla_\nu \nabla_\mu \mathfrak n^\alpha = R^\alpha_{\beta\mu\nu} \mathfrak n^\beta - ( \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\rho} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\rho} ) \mathfrak n^\alpha$

\nabla_{m} \nabla_{v} {norte}^{m} - \nabla_{v} \nabla_{m} {norte}^{m} = [R_{β v} - (\partial_{β} Γ_{v ρ}^{ρ} - \partial_{v} Γ_{β ρ}^{ρ})] {norte}^{β}

$\nabla_\mu \nabla_\nu \mathfrak n^\mu - \nabla_\nu \nabla_\mu \mathfrak n^\mu = \left[ R_{\beta\nu} - ( \partial_\beta \Gamma^\rho_{\nu\rho} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\beta\rho} ) \right] \mathfrak n^\beta$ ¿Podría ser esto correcto? Sospecho que el tensor entre paréntesis en el RHS tiene una parte antisimétrica.

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Conmutador de derivadas covariantes actuando sobre un vector densidad

Nelson Vanegas A. · Answer 1

Mi cálculo es que está obteniendo términos adicionales porque comenzó con la expresión incorrecta. Si de hecho $n^{\mu}$ es una densidad vectorial de peso 1, entonces con la conexión Levi-Civita podría escribirse como

{norte}^{m} = \sqrt{- gramo} V^{m}

$n^{\mu} = \sqrt{-g}\,V^{\mu}$ con

V

$V$ un vector ordinario. Entonces, la derivada covariante de

n

$n$ podría calcularse como

\nabla_{v} {norte}^{m} = \sqrt{- gramo} \nabla_{v} V^{m} = \sqrt{- gramo} (\partial_{v} V^{m} + Γ_{v ρ}^{m} V^{ρ})

$\nabla_{\nu} n^{\mu} = \sqrt{-g} \; \nabla_{\nu} V^{\mu}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= \sqrt{-g}(\partial_{\nu} V^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\nu \rho} V^{\rho})$ entonces

\nabla_{ζ} \nabla_{v} {norte}^{m} = \nabla_{ζ} (\sqrt{- gramo} \nabla_{v} V^{m}) = \sqrt{- gramo} \nabla_{ζ} \nabla_{v} V^{m} .

$\nabla_{\zeta} \nabla_{\nu} n^{\mu} = \nabla_{\zeta} \, (\sqrt{-g} \; \nabla_{\nu} V^{\mu})\\ \quad \quad \quad= \sqrt{-g} \, \nabla_{\zeta}\nabla_{\nu} V^{\mu}.$ Tomar el conmutador llevaría a

\nabla_{ζ} \nabla_{v} {norte}^{m} - \nabla_{v} \nabla_{ζ} {norte}^{m} = \sqrt{- gramo} (\nabla_{ζ} \nabla_{v} V^{m} - \nabla_{v} \nabla_{ζ} V^{m}) = \sqrt{- gramo} (R_{ρ ζ v}^{m} V^{ρ}) = R_{ρ ζ v}^{m} \sqrt{- gramo} V^{ρ} = R_{ρ ζ v}^{m} {norte}^{ρ} .

$\nabla_{\zeta}\nabla_{\nu} n^{\mu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\zeta} n^{\mu} = \sqrt{-g} \; ( \nabla_{\zeta}\nabla_{\nu} V^{\mu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\zeta} V^{\mu}) \\ \quad \quad \quad = \sqrt{-g} \;(R^{\mu}_{\; \rho \zeta \nu} V^{\rho}) \\ \quad \quad \quad = R^{\mu}_{\; \rho \zeta \nu} \sqrt{-g} \; V^{\rho} = R^{\mu}_{\; \rho \zeta \nu} \, n^{\rho}.$ Puedes comprobar si esto tiene sentido para ti.

Si la métrica varía con $x^\mu$ , entonces, ¿la derivada parcial de la densidad del vector no produciría términos de densidad no tensorial más allá de los de la derivada parcial de un cuadrivector ordinario? Por lo tanto, la necesidad de términos de acoplamiento adicionales a la conexión Levi-Civita
$\partial_\rho \mathfrak n^\alpha \to \left\lvert \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} \right\rvert \frac{\partial x^\sigma}{\partial \bar x^\rho} \frac{\partial \bar x^\alpha}{\partial x^\beta} \left( \frac{\partial \mathfrak n^\beta}{\partial x^\sigma} + \frac{ \partial x^\beta}{\partial \bar x^\lambda} \frac{\partial^2\bar x^\lambda}{\partial x^\sigma \partial x^\gamma} \mathfrak n^\gamma + \frac{\partial x^\xi}{\partial\bar x^\lambda} \frac{\partial\bar x^\lambda}{\partial x^\sigma \partial x^\xi} \delta^\beta_\gamma \mathfrak n^\gamma \right)$

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rossng

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Nelson Vanegas A.

rossng

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