¿Por qué hay un énfasis en las ecuaciones tensoriales en GR?

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¿Por qué hay un énfasis en las ecuaciones tensoriales en GR?

Física
covarianza
cálculo tensorial
relatividad general
geometría diferencial

Andrés

Según tengo entendido, el propósito de usar ecuaciones tensoriales en GR es garantizar que sean verdaderas en todos los sistemas de coordenadas. Entiendo que escribir ecuaciones tensorialmente asegura que este será el caso; sin embargo, ¿no hay ecuaciones no tensoriales que también serían verdaderas en todos los sistemas de coordenadas?

Por ejemplo, se puede definir un tensor por sus componentes y cómo se transforman de un sistema de coordenadas a otro (la ley de transformación del tensor). Me parece que podrías definir alguna otra cantidad que se transforme según otra ley de transformación, y que las ecuaciones escritas en esta cantidad también serían válidas en todos los sistemas de coordenadas.

También he visto tensores definidos como objetos geométricos en la variedad que actúan como formas lineales en los espacios tangente y cotangente en la variedad. Esta definición geométrica garantiza inmediatamente la independencia de las coordenadas. Una vez más, no veo por qué no podemos definir un objeto geométrico más general (es decir, no un tensor) y convertirlo en la base de nuestras ecuaciones independientes de coordenadas.

Para resumir, ¿por qué hay un énfasis en las ecuaciones tensoriales en GR cuando me parece que debería haber muchas ecuaciones no tensoriales que también son válidas en todos los sistemas de coordenadas?

EDITAR: como ejemplo, considere un mapeo arbitrario desde el espacio tangente a los reales que no es lineal en los vectores tangentes. Esta es una definición independiente de coordenadas. La única diferencia entre estos objetos y los tensores es que, para los tensores, el mapeo es lineal. Supongo que la no linealidad significa que estos objetos no tendrán 'componentes' sencillos y fáciles de interpretar en cada sistema de coordenadas, pero no veo por qué aún no podemos hacer declaraciones importantes sobre la geometría del espacio-tiempo usándolos.

Ihle

¿Qué quieres hacer con estas "otras cantidades"?

usuario107153

Creo que, en lugar de formular hipótesis sobre estos objetos, debería intentar dar ejemplos de ellos.

Profundo

Creo que la pregunta no se limita solo a GR, sino a cualquier campo que use tensores, por ejemplo, mecánica de fluidos.

usuario4552

¿Es la función no lineal una función única que se establece de una vez por todas y se aplica a todos los objetos dentro de una determinada clase de objetos? ¿O la función no lineal es diferente para cada función en una clase en particular?

Respuestas (3)

¿Por qué hay un énfasis en las ecuaciones tensoriales en GR?

Creo que, en lugar de formular hipótesis sobre estos objetos, debería intentar dar ejemplos de ellos.
Creo que la pregunta no se limita solo a GR, sino a cualquier campo que use tensores, por ejemplo, mecánica de fluidos.
¿Es la función no lineal una función única que se establece de una vez por todas y se aplica a todos los objetos dentro de una determinada clase de objetos? ¿O la función no lineal es diferente para cada función en una clase en particular?

Bence Racskó · Answer 1

Hay objetos independientes de coordenadas que no son tensores.

Conexiones, densidades, espinores, secciones de haces de fibras en general, etc.

Sin embargo, los tensores son

relacionado con la geometría de la variedad (en contraste con las secciones de un paquete vectorial arbitrario)
tienen dependencia lineal en las direcciones.

Voy a ilustrar esto con el mismo ejemplo que usa Wald en su libro GR. Imagina un campo magnético $B$ permeando el espacio. Tiene un detector que mide el campo magnético en la dirección en la que apunta la sonda del detector. ¿Cómo se mide el campo magnético en el punto $x$ ?

Usted elige y registra tres orientaciones de sonda linealmente independientes. Dado que la sonda probablemente usa las mismas unidades en todas las direcciones y tiene la misma sensibilidad, las tres orientaciones pueden tomarse como vectores unitarios.

Sean las tres direcciones $e_1,e_2$ y $e_3$ . Tomas las tres medidas, estas te devuelven los valores

B_{1} = B ({mi}_{1}), B_{2} = B ({mi}_{2}), B_{3} = B ({mi}_{3}) .

$B_1=B(e_1),\ B_2=B(e_2),\ B_3=B(e_3).$

Como puede ver, el campo magnético juega aquí el papel de un covector, en lugar de un vector. A partir de esto, puede ensamblar el campo magnético como

B = B_{1} {mi}^{1} + B_{2} {mi}^{2} + B_{3} {mi}^{3},

$B=B_1 e^1+B_2 e^2+B_3e^3,$ dónde

e^{i}

$e^i$ es el elemento de base dual para

e_{i}

$e_i$ .

El tensor métrico es

{gramo}_{i j} = (\begin{matrix} 1 & porque α_{12} & porque α_{13} \\ porque α_{12} & 1 & porque α_{23} \\ porque α_{13} & porque α_{23} & 1 \end{matrix})

$g_{ij}=\left(\begin{matrix} 1 && \cos\alpha_{12} && \cos\alpha_{13} \\ \cos{\alpha_{12}} && 1 && \cos{\alpha_{23}} \\ \cos{\alpha_{13}} && \cos{\alpha_{23}} && 1\end{matrix}\right)$ dónde

α_{i j}

$\alpha_{ij}$ es el ángulo entre

e_{i}

$e_i$ y

e_{j}

$e_j$ .

El vector de campo magnético está dado por $\sharp B=g^{1i}B_ie_1+g^{2i}B_ie_2+g^{3i}B_ie_3$ , la magnitud está dada por $||B||=g^{ij}B_iB_j$ etc.

Ahora bien, si en lugar de tener una dependencia lineal de las direcciones, $B$ era una función suave arbitraria $B:T_xM\rightarrow\mathbb{R}$ , entonces necesitarías una cantidad infinita de medidas (en una cantidad infinita de direcciones) para reconstruirlo en un punto.

Claramente, estas cantidades "dependientes de la dirección" en física se comportan de tal manera que no necesitas una cantidad infinita de medidas para medirlas en un punto. Si lo hicieran, ¡la física tal como la conocemos no existiría! Entonces, la razón por la que usamos tensores es que la física es medible.

Estoy bastante seguro de que, dadas las funciones lineales $\left\{\omega_n: T_xM \to \mathbb{R}\right\}$ tal que, por $\vec{v}\in T_xM$ , $\lim_{n\to\infty}\sum_{n=0}^m \left(\omega_n(\vec{v})\right)^n$ converge (¡observe que no hay ESC aquí!), entonces, bueno, esa es una serie de Taylor, por lo que puede expresar funciones no lineales bastante generales usando un conjunto de tensores. Pero necesitas un conjunto infinito en general, que es el punto que estabas señalando.
Te daré +20 si puedes encontrarme una sonda que use diferentes unidades cuando se orienta en diferentes direcciones.
Además de los ejemplos que das, como los símbolos de Christoffel y las densidades de tensores, supongo que uno puede simplemente construir n-tuplas no homogéneas, por ejemplo, un objeto $(f,\omega)$ que es un par ordenado construido a partir de un escalar y un covector.
Gracias por la respuesta. Una reflexión: el tensor de Einstein suele estar motivado por ser el único tensor formado por la métrica y sus derivadas primera y segunda. ¡Parece que tenemos mucha suerte de que la forma en que la materia curva el espacio-tiempo esté perfectamente encapsulada por una ecuación tensorial! Si fuera un poco más complicado (no tensorial), parecería que no tenemos ninguna esperanza de medir esta relación fácilmente. (Por supuesto, SR nos enseña que la energía-momento es una cantidad tensorial, por lo que tal vez eso motivaría la naturaleza tensorial de la medida de la curvatura en la LHS de las ecuaciones de campo de Einstein)

Mozibur Ullah · Answer 2

Buena pregunta, y una que no se menciona comúnmente en la literatura de física cuando introducen la ley de transformación del tensor.

Intente visualizarlo geométricamente: tome un ejemplo simple, deformando la superficie de una esfera a un elipsoide; si tomamos una porción pequeña (es decir, infinitesimal) de la pelota y vemos cómo se transforma, vemos que hay una dependencia multilineal ; este ejemplo se puede generalizar a variedades arbitrarias en cualquier espacio cartesiano, y también podemos, con un poco de reflexión, eliminar la incrustación.

Una transformación multilineal se caracteriza universalmente por tensores, y luego, al tomar bases, obtenemos la propiedad de transformación de coordenadas habitual que caracteriza a los tensores comunes en la literatura de física.

La mejor referencia que he visto para esto es el libro de Lees sobre Geometría diferencial y Geometría tensorial de Dodson, aunque tiende a usar alguna terminología idiosincrásica.

Riad · Answer 3

Los tensores por sí mismos no aseguran que una fórmula sea correcta en todos los sistemas de coordenadas. Las ecuaciones de Navier-Stokes, por ejemplo, se pueden escribir en forma tensorial, pero no son independientes de las coordenadas. Lo que necesitas, de hecho, es la propiedad de la derivada covariante. La forma tensorial, por otro lado, es necesaria para describir las tensiones en una superficie. Para describir el esfuerzo cortante en una superficie, por ejemplo, necesita un vector que se encuentre en la superficie para describir la fuerza en esa superficie con magnitud y dirección. Pero luego necesita otro vector para describir la posición y orientación de la superficie misma, de ahí los dos índices del tensor de segundo rango.

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