Transporte de vectores tangentes al tomar derivadas de mentira

Actualmente estoy trabajando para comprender la geometría diferencial (intrínseca) que sustenta la Relatividad General, y creo que podría beneficiarme de una comprensión más intuitiva del proceso de tomar la derivada de Lie de un campo vectorial con respecto a otro campo vectorial.

Hago esta pregunta por este motivo. Pictóricamente, entiendo lo que sucede con los vectores tangentes cuando los transportamos en paralelo a lo largo de las curvas al tomar derivadas covariantes. Por lo tanto, busco entender qué sucede con los vectores tangentes cuando los "transportamos con mentiras" a lo largo de curvas integrales de campos vectoriales cuando tomamos derivadas de campos vectoriales con mentiras.

Para ilustrar mi punto aún más, considere el siguiente ejemplo.

Dejar$V$y$W$ser campos vectoriales suaves en una variedad (digamos suave)$M$. Dejar$\gamma_w$denote una curva integral de$W$y deja$q = \gamma_w (s)$ser un punto arbitrario en la imagen de$\gamma_w$.

Dejar$\phi^{x}$ser un elemento del grupo local de un parámetro de$W$, eso es,$\phi^{x}$es el flujo del campo vectorial$W$por parámetro$x$a lo largo de$\gamma_w$.

Luego calculamos la derivada de Lie de$V$con respecto a$W$en$q$,$\mathcal{L}_W V(q)$(entonces$\mathcal{L}_W V$es un campo vectorial en$M$), como sigue.

Primero dejamos el vector tangente$V(\gamma_w(s+\epsilon)$) "flujo" de vuelta desde$\gamma_w(s+\epsilon)$a$q$. El vector tangente resultante en$q$es dado por$d\phi^{-\epsilon}(V(\gamma_w(s+\epsilon))$(aquí$d\phi^{-\epsilon}$es el diferencial de$\phi^{-\epsilon}$). Luego restamos$V(q)$de este vector tangente (esta operación de resta ahora está bien definida), y divida el resultado por$\epsilon$. Entonces tomamos el límite como$\epsilon \rightarrow 0$para obtener una derivada genuina del campo vectorial$V$a lo largo de una curva integral de$W$.

Eso es,

Ahora bien, mi pregunta es la siguiente. Geométricamente/pictóricamente, ¿qué le sucede a$V(\gamma_w(s+\epsilon)$) cuando "fluye" de$\gamma_w(s+\epsilon)$a$q$, y por qué el diferencial$d\phi^{-\epsilon}$salida este vector tangente transportado Lie?

Gracias de antemano.

notas

Esta es una versión modificada de un par de preguntas (ahora eliminadas) que publiqué en este sitio y Math StackExchange. Además, como se indicó anteriormente, estoy buscando una respuesta intuitiva, no algebraica o computacional. Como tal, estoy totalmente de acuerdo con una respuesta que trata estos campos vectoriales como pequeñas flechas dispersas por la variedad.

También debo decir que he analizado muchas preguntas sobre la intuición detrás de la derivada de Lie, específicamente en qué se diferencia de la derivada covariante. Sin embargo, no pude encontrar una respuesta satisfactoria que responda a la pregunta anterior desde un punto de vista geométrico/intuitivo. Supongo que estoy buscando la perspectiva de un físico aquí.