Existencia de mapas de matrices diferenciables M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

Question

Existencia de mapas de matrices diferenciables M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

matrices
Matemáticas
análisis real
álgebra lineal
cálculo matricial
cálculo multivariable

hyewon

digamos que $M(3,\mathbb{R})$ es el conjunto de matrices cuadradas de dimensión $3*3$ . hay un barrio $N$ de $I_3$ en el que hay un mapa de raíz cuadrada diferenciable $f: N \rightarrow M(3,\mathbb{R})$ , con

F (I) = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$f(I) = \begin{pmatrix} -1 &0 &0 \\ 0 &1 &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ y

(f (A))^{2} = A

$(f(A))^2=A$ para cada

A \in N

$A \in N$ ?

Otra pregunta es la siguiente: ¿Hay algún barrio $L$ de $I_3$ en el que hay un $C'$ función de clase $g: L \rightarrow M(3,\mathbb{R})$ , con

gramo (I) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$g(I) = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$ y

(g (B))^{3} = B

$(g(B))^3=B$ para cada

B \in L

$B \in L$ ?

Antecedentes: Aprendí que las matrices pueden representar derivadas de funciones multivariables y he entendido, por ejemplo, ¿ Existe una forma general para la derivada de una matriz a una potencia? , pero ahora sé cómo usar las condiciones dadas por la pregunta para responder si las preguntas son verdaderas o falsas.

editar: hay una pregunta anterior posiblemente relacionada, que la transformación lineal $T: M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{R}), T(B) = AB+BA$ (para una diagonal $A \in M(3,\mathbb{R})$ ) es invertible si los elementos diagonales de $A$ satisfacer una determinada condición.

calvin khor

No entiendo tu pregunta similar, ¿qué significa

g

$g$ tiene que ver con

f

$f$ ? Como definido

I \neq g (I)^{2} \neq g (I)

$I≠ g(I)^2 ≠ g(I)$ así que no puedo hacer una suposición correcta

hyewon

Quise decir que los problemas tenían un sabor similar, perdón por la confusión. editará

calvin khor

se ve igual después de tu edición?

hyewon

¡Ups! Lo siento ahora está bien

Respuestas (2)

Existencia de mapas de matrices diferenciables M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

No entiendo tu pregunta similar, ¿qué significa $g$ tiene que ver con $f$ ? Como definido $I≠ g(I)^2 ≠ g(I)$ así que no puedo hacer una suposición correcta
Quise decir que los problemas tenían un sabor similar, perdón por la confusión. editará

usuario91684 · Answer 1

Usamos el teorema de la función implícita, que es un método bien conocido.

Yo para $f$ . Dejar $p:X\in M_3\mapsto X^2$ y $U=diag(-1,1,1)$ ; entonces $p(U)=I_3$ ; la derivada de $p$ es

$Dp_X:H\in M_3\mapsto XH+HX$ y $Dp_U(H)=UH+HU$ es una suma de funciones que conmutan.

$p$ tiene un local $C^{1}$ inversa de una vecindad de $I_3$ a un barrio de $U$ FIB $Dp_U$ es invertible Dejar $spectrum(U)=(\lambda_i)_i$ .

De acuerdo a

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product#Abstract_properties

$spectrum(Dp_U)=\{\lambda_i+\lambda_j;i,j\}=\{-2,0,0,0,0,2,2,2,2\}$ y por lo tanto $p$ no tiene $C^1$ inversa local.

ii) para $g$ (del mismo modo). Dejar $q:X\in M_3\mapsto X^3$ y $V=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ ; entonces $q(V)=I_3$ ; la derivada de $q$ es

$Dq_X:H\in M_3\mapsto HX^2+XHX+X^2H$ y $Dq_V(H)=HV^2+VHV+V^2H$ es una suma de funciones que conmutan.

$spectrum(V)=spectrum(V^2)=(\mu_i)_i=\{1,u,u^2\}$ dónde $u=e^{2i\pi/3}$ .

Entonces $spectrum(Dq_V)=\{\mu_i^2+\mu_i\mu_j+\mu_j^2;i,j\}$ .

Con $\mu_i=1,\mu_j=u$ , obtenemos (al menos) un valor propio cero y, por lo tanto, $q$ no admite locales $C^1$ inverso.

EDITAR. Respuesta al OP y Sally G.

Si no conoce la teoría de los productos de Kronecker, entonces, no importa, basta con mostrar elementos de $\ker(Dp_U)$ y de $\ker(Dq_V)$ . Por ejemplo

$H=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\in\ker(Dp_U)$ y $H=diag(1,0,-1)\in\ker(Dq_V)$ .

Te perdí en el espectro. Fui a su enlace wiki, pero no encontré ninguna información sobre cómo agregar valores propios. No estoy familiarizado con el producto Kronecker y no veo cómo $spec(D_{pu})$ fue calculado. ¿Es esta la única manera de ver que no hay inversa local?
También podría calcular una matriz de representación de $\mathrm Dp(U)$ utilizando el $3\times3$ -matrices con un solo 1 como entrada como base. Obtendrías un $9\times9$ -matriz (ya que $M_3$ es un espacio de 9 dimensiones), que puede probar para la invertibilidad.
@Vercassivelaunos, sí, es estándar. Sin embargo, trato de nunca usar esta presentación porque sugiere que la resolución de $AX+XB^T=(A\otimes I+I\otimes B)X=C$ es en $O(n^6)$ mientras que hay métodos que resuelven esta ecuación con complejidad $≈20n^3$ .
Escribí esto en respuesta a @SallyG, quien solicitó un enfoque diferente. No tenía la intención de criticar tu manera. Debería tener @ ellos para ser más claro.

Vercassivelaunos · Answer 2

No estoy del todo seguro acerca de los mapas diferenciables en general, pero para probar la existencia de un $C^1$ -mapa, puede usar el teorema de la función inversa: está buscando una inversa local de la $C^1$ -mapa $h:M(3,\mathbb R)\to M(3,\mathbb R),~A\mapsto A^2$ alrededor $A_0$ , dónde $A_0$ es una de las matrices anteriores. Tal mapa existe iff $\mathrm Dh(A_0)$ es invertible Así que deberías probar eso.

Lo siento. ¿Es porque solo cubre un caso especial, o porque deja el trabajo de hacer los cálculos reales al autor de la pregunta?
Es porque es un comentario y no una respuesta a la pregunta del OP.
Voy a reformular mi pregunta: ¿qué tendría que agregar para que sea una respuesta en lugar de un comentario? Di una condición equivalente que es trivial (aunque tediosa) de verificar. ¿Habría sido suficiente hacer la verificación de op para convertirlo en una respuesta?
Un poco. Verbatim, pidieron un mapa de raíces cuadradas. No hay restricciones sobre si es diferenciable. El título implica que quieren que sea diferenciable. Pero la pregunta estándar en el análisis real sería sobre $C^1$ funciones Asumí el último de los tres, sin el cual este método no funcionaría, así que lo agregué como una advertencia al principio, porque no estaba seguro de si eso era realmente lo que querían. Si tales suposiciones no están a la altura de los estándares de la comunidad, estoy de acuerdo con eso. Pero me gustaría saber si ese es realmente el problema y no otra cosa.
ok, lo siento, realmente no leí la pregunta o tu respuesta. simplemente parecía un comentario, especialmente después de que comentaste "solo cubre un caso especial". pero eliminaré mi voto negativo (y mi voto positivo ya que has sido amable)
Lo siento mucho. Necesito un mapa de raíz cuadrada diferenciable. Lo agregué a la pregunta, ¡completamente mi culpa por no decirlo antes!

Existencia de mapas de matrices diferenciables M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

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