¿Son la Teoría Clásica de Campos y la Mecánica Cuántica de una sola partícula (no relativista o "clásica") límites de la Teoría Cuántica de Campos?

Estimado Turion, el campo cuántico de Dirac puede obtenerse formalmente cuantificando la ecuación de Dirac, que es una ecuación mecánica cuántica relativista pero de una sola partícula.

El límite no relativista de la ecuación de Dirac de una sola partícula es la ecuación de Pauli, que es esencialmente la ecuación de Schrödinger no relativista para una función de onda con una degeneración doble adicional que describe el giro.

Para pasar de la ecuación de Schrödinger no relativista para un electrón a una teoría cuántica de campos con un campo de Dirac cuantizado, por lo tanto

1. Tienes que sumar el giro e ir a la ecuación de Pauli - fácil
2. Adivina la generalización relativista correcta de la ecuación de Pauli: es la ecuación de Dirac de una sola partícula que también tiene soluciones de energía negativa
3. Tenga en cuenta que las soluciones de energía negativa son inconsistentes en el marco de una sola partícula, por lo que debe cuantificar en segundo lugar la función de onda y obtener el campo cuántico de Dirac.

Esta secuencia de pasos es formal. Uno realmente no puede "deducir" las cosas en este orden, al menos no de una manera directa. Después de todo, el paso 1 necesitaba un genio creativo del calibre de Pauli, el paso 2 necesitaba un genio creativo del calibre de Dirac y el paso 3 necesitaba la colaboración de docenas de los mejores físicos que desarrollaron la teoría cuántica de campos. Muy por el contrario, como se le dijo correctamente, las operaciones significativas y bien definidas van exactamente en el orden opuesto, pero no siguen los pasos anteriores. Comienza con la teoría cuántica de campos, incluido el campo de Dirac, que es la teoría completa correcta, y puede tomar varios límites de la misma.

El límite no relativista es, por supuesto, algo totalmente diferente al límite clásico. El límite no relativista sigue siendo una teoría cuántica, con probabilidades, etc., pero no respeta el papel especial de la velocidad de la luz. Por otro lado, el límite clásico es algo totalmente diferente: una teoría determinista clásica que respeta la simetría de Lorentz, etc. Discutamos los límites de la electrodinámica cuántica por separado.

Límites clásicos

el clasico,$\hbar\to 0$, límite de QED actúa de manera diferente sobre fermiones y bosones. A los bosones les gusta ocupar el mismo estado. Sin embargo, para enviar "realmente"$\hbar$a cero, necesita cantidades con las mismas unidades que son mucho mayores que$\hbar$:$\hbar$va a cero en relación con ellos. ¿Qué cantidades puedes encontrar? Bueno, el campo electromagnético puede transportar mucha energía en campos fuertes.

Entonces obtienes un límite clásico al tener muchos fotones en el mismo estado. Se combinan en campos electromagnéticos clásicos que se rigen por las ecuaciones clásicas de Maxwell; tenga en cuenta que las ecuaciones clásicas de Maxwell "ya" son relativistas, aunque la gente antes de Einstein no había apreciado completamente esta simetría (aunque Lorentz escribió la "redefinición" sin darse cuenta de su relación con los diferentes marcos de inercia o grupos de simetría, para el caso). Simplemente borra los sombreros de las ecuaciones similares de Heisenberg para los campos electromagnéticos.

Bueno, para frecuencias extremadamente altas, la cantidad de fotones no será grande porque llevan una energía enorme. Entonces, para frecuencias altas, también puede derivar otro límite clásico, basado en "partículas puntuales", los fotones.

Los fermiones, por ejemplo, los electrones descritos por la ecuación de Dirac, obedecen al principio de exclusión. Así que no puedes tener muchos de ellos. Hay como máximo una partícula por estado. En las teorías mecánicas cuánticas, tiene una posición y un momento aproximados que no conmutan. El límite clásico es donde se desplazan. Entonces, el límite clásico inevitablemente debe producir mecánica para los fermiones, con posiciones y momentos de partículas individuales. Como mencioné, esta imagen también puede ser relevante para los bosones de alta energía.

Límite no relativista

El no relativista,$c\to\infty$, límite de QED es algo completamente diferente. Sigue siendo una teoría cuántica. Debido a que los fotones se propagan a la velocidad de la luz y la velocidad se envía al infinito, las ondas electromagnéticas se propagan infinitamente rápido en el límite no relativista. Eso significa que los objetos cargados (y que giran o se mueven cargados) se influencian instantáneamente entre sí mediante campos eléctricos (y magnéticos).

Cuando se trata de fermiones, se deshace uno de los pasos del principio: se reduce la velocidad de los electrones. Suponiendo que no haya positrones por un tiempo, el límite no relativista donde las velocidades son pequeñas evitará la creación de pares fermión-antifermión. Entonces el número de partículas se conservará.

Entonces tiene sentido descomponer el espacio de Hilbert en sectores con$N$partículas para varios valores de$N$y estás de vuelta en la mecánica cuántica de múltiples cuerpos. También tendrán el espín, como en la ecuación de Pauli, e interactuarán a través de interacciones instantáneas: la interacción de Coulomb y sus contrapartes magnéticas (combinan las leyes de Ampére y Biot-Savart para$B$inducida por corrientes con las fuerzas magnéticas usuales que actúan sobre cargas y espines en movimiento). Obtendrá el hamiltoniano mecánico cuántico no relativista habitual utilizado para la física atómica.

No habrá olas porque se mueven por la velocidad infinita. No podrás verlos. Pero no destruirán la conservación de la energía, etc. porque en el límite no relativista, la potencia emitida por las cargas aceleradas llega a cero porque contiene$1/c^3$u otro poder negativo.

Entonces, en el límite no relativista, los fotones simplemente desaparecen de la imagen, y su único rastro serán las interacciones instantáneas del tipo de Coulomb.

Límite clásico no relativista

Por supuesto, puede aplicar ambos procedimientos de limitación al mismo tiempo. Luego, obtiene electrones clásicos no relativistas similares a puntos que interactúan a través de Coulomb e interacciones instantáneas similares.

Algunos comentarios rápidos (espero que sean útiles para formular versiones más precisas de su pregunta):

• "Recientemente hablé sobre QFT con otro físico y mencioné que la teoría del campo cuántico de un fermión es una cuantificación de su teoría mecánica cuántica de una partícula".

Creo que quiso decir que el espacio de Hilbert de la QFT se construye como el espacio de Fock fermiónico a partir del espacio de Hilbert de una partícula, que generalmente se denomina segunda cuantización, ¿no?

• "Explicó que las energías encontradas son todas mucho más pequeñas que la masa de las partículas, por lo que podemos ignorar todas las excitaciones de partículas múltiples en el espacio de Fock y obtener un espacio de Hilbert efectivo que consta de todas las excitaciones de una sola partícula".

La creación de partículas es solo un aspecto de la relatividad especial que se fusiona con la mecánica cuántica mediante la teoría cuántica de campos. También debe manejar la probabilidad distinta de cero de que una partícula descrita por la mecánica cuántica no relativista se propague con una velocidad mayor que c (la velocidad de la luz en el vacío). Tome un bosón de espín cero masivo libre en una dimensión localizado en un punto$x$a la vez$t=0$, la evolución temporal se describe mediante una ecuación de Schrödinger. En un pequeño tiempo arbitrario$t \gt 0$la función de onda será gaussiana, lo que significa que hay una probabilidad distinta de cero de encontrar la partícula a una distancia arbitraria de$x$.

Por lo tanto, cualquier límite$\lim_{c \to \infty}$también tiene que mirar la dinámica, no solo el espacio de estado. ¿En qué sentido la ecuación de Schrödinger describe la dinámica de partículas elementales con masa distinta de cero en el límite$\lim_{c \to \infty}$se explica en todos los libros de texto de QFT que conozco.

• "... él, por supuesto, respondió que no puede haber un límite no relativista de QED exactamente debido a la falta de masa".

Sí, eso es cierto, porque la teoría clásica (las ecuaciones de Maxwell) ya es relativista.

• "Entonces, ¿es lo mismo tomar el límite clásico o el no relativista, o uno incluye al otro, o hay alguna diferencia profunda?"

Lo siento pero no entiendo esta pregunta. Desde un punto de vista puramente formal, el límite clásico es$\lim_{h \to 0}$, y el límite no relativista es$\lim_{c \to \infty}$, y los ejemplos que cita usted mismo ya dejan claro que esto no es lo mismo.

Teoría clásica de campos, sí (extensión del Teorema de Ehrenfest), pero mecánica cuántica, no, no en sentido estricto. Si asume una teoría de campo libre en un estado numérico (Fock), en el límite no relativista los cuantos deberían obedecer la ecuación de Schroedinger. Sin embargo, un campo VERDADERAMENTE que no interactúa es inobservable y ¡uno nunca podría siquiera demostrar que existe! Por lo tanto, los que realmente conocemos solo pueden reducirse "aproximadamente" a QM en el límite no relativista.

Recomiendo encarecidamente un artículo llamado "Mecánica cuántica: mitos y hechos" de Hrvoje Nikolic

. La Sección 9 analiza con cierto detalle el hecho de que, estrictamente hablando, QM definitivamente no es el límite no relativista de QFT en el caso de interacción...