¿Son finitos los números en los que todas las subcadenas son números primos independientemente de la base?

Question

¿Son finitos los números en los que todas las subcadenas son números primos independientemente de la base?

Matemáticas
teoría de los números
números primos

Rey del cielo

Sin ninguna razón en particular, me topé con la secuencia/conjunto de todos los números donde todas las subcadenas de la representación decimal son primos (A085823). Es bastante fácil ver que este debe ser un conjunto finito. Mi enfoque fue que los dígitos deben cambiar entre 3 y 7 eventualmente (ya que un número primo no puede terminar en 2 o 5 por más grande que eso y un número primo no puede constar de solo dos dígitos que no sean 1, esos serían divisibles por 2 , 5 u 11) y podemos ver dónde termina.

Pero si cambiamos la base ese enfoque falla. Por ejemplo, en base 8, un número primo puede terminar en 3, 5 o 7 AFAICS, por lo que dichos números pueden terminar en una secuencia alterada de 3, 5 y 7, pero al tener dígitos de árbol para alterar, siempre hay una forma de variar la secuencia.

Traté de escribir un fragmento de Python para producir tales números en diferentes bases y para aquellos que he probado, el programa parece bloquearse (es decir, parece que no encuentra más números). ¿Es cierto que solo hay un número finito de tales números para cada base?

Respuestas (1)

¿Son finitos los números en los que todas las subcadenas son números primos independientemente de la base?

Jakob W. · Answer 1

¡Sí!

Dejar $b \geq 2$ ser una base en la que desea representar estos números. Luego, establezca $c := b-1$ . Claramente, $b \equiv 1 \mod c$ .

Ahora supongamos que había un número $n$ que tiene una longitud $\geq 2c+1$ por lo que cada subpalabra de su representación en base $b$ sería primo de nuevo. Escribir $n$ como $a_m \cdots a_0$ en base $b$ . Considerar

s_{k} :\equiv \sum_{i = 0}^{k} a_{i} modificación C

$\DeclareMathOperator{\Mod}{mod} s_k :\equiv \sum_{i=0}^k a_i \Mod c$ para

k \in {0, \dots, m}

$k\in \{0, \dots, m\}$ . Desde el

s_{k}

$s_k$ solo puede tomar

c

$c$ valores posibles y

m + 1 \geq 2 c + 1

$m+1 \geq 2c+1$ por supuesto, tenemos que hay

i < j < k, i, j, k \in {0, \dots, m}

$i<j<k, i,j,k \in \{0, \dots, m\}$ calle

s_{i} = s_{j} = s_{k}

$s_i = s_j = s_k$ . Pero esto implica

k > i + 1

$k > i+1$ y:

0 \equiv s_{k} - s_{i} \equiv \sum_{yo = i + 1}^{k} a_{yo} \equiv \sum_{yo = i + 1}^{k} a_{yo} \cdot b^{yo - (i + 1)} modificación C

$0 \equiv s_k - s_i \equiv \sum_{l=i+1}^k a_l \equiv \sum_{l=i+1}^k a_l \cdot b^{l-(i+1)} \Mod c$ Pero la última suma de la que tomamos

\mod c

$\Mod c$ es precisamente el número representado por

a_{k} \dots a_{i + 1}

$a_k \cdots a_{i+1}$ en base

b

$b$ . Como subpalabra de nuestro

n

$n$ , tiene que ser primo. La igualdad anterior entonces produce que en realidad tiene que ser igual a

c

$c$ (ya que es divisible por

c

$c$ y primo). Pero desde

k > i + 1

$k>i+1$ , tenemos

C = b - 1 = \sum_{yo = i + 1}^{k} a_{yo} \cdot C^{yo - (i + 1)} \geq a_{k} \cdot b^{k - (i + 1)} > b

$c=b-1=\sum_{l=i+1}^k a_l \cdot c^{l-(i+1)}\geq a_k \cdot b^{k-(i+1)} > b$ lo cual es una contradicción.

Entonces, podemos concluir que la longitud de tal $n$ puede ser $2c$ a lo sumo. Por lo tanto, solo hay un número finito de tales $n$ s en cada base.

Incluso se puede demostrar que la longitud es como máximo $2p-1$ dónde $p$ es el primo más pequeño que no se divide $b$ . Si te interesa, te enlazo una prueba de esto.

Un punto menor es que desde $0$ y $1$ no puede estar en la cadena, puedes elegir una base $b \gt 2$ . De lo contrario, por $b = 2$ , Tú tienes tu $c = 1$ . De lo contrario, todo lo demás se ve bien.

¿Son finitos los números en los que todas las subcadenas son números primos independientemente de la base?

Rey del cielo

Respuestas (1)

Jakob W.

Juan Omielan

usuario682219

usuario682219

¿Existen huecos primos arbitrariamente largos en los que cada número tiene al menos tres factores primos distintos?

Prueba de afirmación menor relacionada con la conjetura de los primos gemelos

Patrón interesante en la trama que involucra números primos

El mismo número de factores primos y dígitos decimales.

Mi observación sobre la brecha principal

¿Hay brechas principales de todos los tamaños?

Teorema de los números primos y función zeta de Riemann

Si n−1n−1n-1 es f(n)f(n)f(n)-suave, nnn es primo infinitamente a menudo. Cual es el mejor fff?

Teorema de Zhang y conjetura de Polignac

La descomposición en potencias primas de la suma de dos cuadrados