Soluciones de frecuencia positiva en un espacio-tiempo estacionario

Question

Soluciones de frecuencia positiva en un espacio-tiempo estacionario

gj255

Estoy estudiando los conceptos básicos de QFT en el espacio-tiempo curvo y, para el caso más simple de campos escalares reales, podemos definir la forma Hermitiana de Klein-Gordon por

(F, gramo) = i \int_{Σ} d^{3} X \sqrt{h} {norte}^{m} (\bar{F} \partial_{m} gramo - gramo \partial_{m} \bar{F})

$(f,g) = i \int_\Sigma \mathrm{d}^3x \sqrt{h} n^\mu ( \overline{f} \partial_\mu g - g \partial_\mu \overline{f})$ Con

Σ

$\Sigma$ una hipersuperficie espacial,

n

$n$ su unidad normal y

h

$h$ el determinante de la métrica espacial. En un espacio-tiempo estacionario, decimos que una solución

f

$f$ de la ecuación de Klein-Gordon es una frecuencia positiva si, para Killing field

k

$k$ , tenemos eso

L_{k} F = - i ω F ω > 0

$\mathcal{L}_k f = - i \omega f \qquad \omega > 0$ Pregunta: ¿Cómo podemos probar que las soluciones de frecuencia positiva tienen una 'norma' de Klein-Gordon positiva, es decir, $(f,f) > 0$ ?

Para mí está claro que si el espacio-tiempo es estático, o de manera equivalente, la métrica no tiene términos cruzados entre el espacio y el tiempo, entonces la unidad es normal $n^\mu$ es proporcional al campo de muerte $k^\mu$ y la norma de Klein-Gordon es positiva ya que tenemos $n^\mu \partial_\mu \propto \mathcal{L}_k$ . Sin embargo, si este no es el caso, entonces no hay una manera fácil de relacionar $n$ a $k$ , y no puedo ver cómo proceder.

Si la estática es de hecho un requisito para que esta declaración se cumpla, ¿hay un contraejemplo obvio? Es decir, ¿hay alguna solución? $f$ a la ecuación de Klein-Gordon en un espacio-tiempo estacionario (pero no estático) con ambos $k^\mu \partial_\mu f = -i\omega f$ ( $\omega > 0$ ) y $(f,f)<0$ ? Gracias por la ayuda.

AccidentalFourierTransformar

podría ser relevante: la forma hermítica en la concha

(f, g)

$(f,g)$ es independiente de

Σ

$\Sigma$ . En otras palabras, para

f, g

$f,g$ soluciones de la ecuación de KG tiene la libertad de elegir cualquier superficie

Σ

$\Sigma$ sobre el cual integrar. Me parece que esta libertad te permite elegir

n \propto k

$n\propto k$ independientemente de si la métrica es estática o no.

gj255

Gracias por el comentario. Creo que hay alguna restricción en

Σ

$\Sigma$ En realidad. Creo en la prueba de que

L_{k}

$\mathcal{L}_k$ es antihermitiano (lo cual debemos ser el caso para hablar de frecuencia positiva en primer lugar) con respecto a la forma KG en realidad requiere que el campo Killing corresponda a las traducciones en el mismo 'tiempo'

t

$t$ como

Σ

$\Sigma$ es una superficie plana de. Entonces acepto que cualquier superficie plana de

t

$t$ que elegimos es intrascendente, pero esto nos impide elegir libremente

Σ

$\Sigma$ por lo que su normal es proporcional a

k

$k$ .

Respuestas (1)

Soluciones de frecuencia positiva en un espacio-tiempo estacionario

podría ser relevante: la forma hermítica en la concha $(f,g)$ es independiente de $\Sigma$ . En otras palabras, para $f,g$ soluciones de la ecuación de KG tiene la libertad de elegir cualquier superficie $\Sigma$ sobre el cual integrar. Me parece que esta libertad te permite elegir $n\propto k$ independientemente de si la métrica es estática o no.
Gracias por el comentario. Creo que hay alguna restricción en $\Sigma$ En realidad. Creo en la prueba de que $\mathcal{L}_k$ es antihermitiano (lo cual debemos ser el caso para hablar de frecuencia positiva en primer lugar) con respecto a la forma KG en realidad requiere que el campo Killing corresponda a las traducciones en el mismo 'tiempo' $t$ como $\Sigma$ es una superficie plana de. Entonces acepto que cualquier superficie plana de $t$ que elegimos es intrascendente, pero esto nos impide elegir libremente $\Sigma$ por lo que su normal es proporcional a $k$ .

giuppep · Answer 1

Para un espacio-tiempo estacionario podemos reescribir la métrica como

gramo = - α^{2} d t^{2} + h_{i j} (d X^{i} + β^{i} d t) (d X^{j} + β^{j} d t)

$\begin{equation} g=-\alpha^{2}dt^{2}+h_{ij}( dx^{i}+\beta^{i}dt)( dx^{j}+\beta^{j}dt) \end{equation}$ Ahora la normal de una forma a

Σ

$\Sigma$ leeré

n^{♭} = - α d t

$n^{\flat}=-\alpha dt$ y el campo vectorial correspondiente

n^{♯} = \frac{1}{α} (k - β)

$n^{\sharp}=\frac{1}{\alpha}(k-\beta)$ , dónde

k

$k$ es el campo del vector Killing estacionario.

La norma KG de una solución de frecuencia positiva $f$ es

(F, F) = 2 ω \int_{Σ} d^{3} X \frac{\sqrt{det h}}{α} | F |^{2} + I

$\begin{equation} (f,f)=2\omega \int_{\Sigma} d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} |f|^{2} + I \end{equation}$ dónde

I = - i \int_{Σ} d^{3} X \frac{\sqrt{det h}}{α} (\bar{F} ⟨ β, d F ⟩ - F ⟨ β, d \bar{F} ⟩) .

$\begin{equation} I=-i \int_{\Sigma} d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} (\bar{f}\langle \beta,df\rangle - f \langle \beta, d\bar{f}\rangle ). \end{equation}$ Ahora necesitamos estimar I. Tenga en cuenta que dado que

f

$f$ es una solución a la ecuación de KG que tenemos

\begin{matrix} (1) & 0 = \int_{Σ} d^{3} X \sqrt{det h} [\bar{F} (◻ - {metro}^{2}) F] α . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{intkg}\tag{1} 0=\int_{\Sigma} d^{3}x \sqrt{\det h}\;[\bar{f}(\square - m^{2})f]\alpha. \end{equation}$ reescritura

\begin{aligned} ◻ F & = \frac{1}{\sqrt{- det gramo}} \partial_{m} (\sqrt{- det gramo} {gramo}^{m v} \partial_{v} F) \\ = - \frac{1}{α^{2}} \partial_{t}^{2} F + \frac{1}{α^{2}} β^{i} \partial_{i} \partial_{t} F + \frac{1}{α \sqrt{det h}} \partial_{i} (β^{i} \frac{\sqrt{det h}}{α} \partial_{t} F) + \frac{1}{α \sqrt{det h}} \partial_{i} (α \sqrt{det h} {gramo}^{i j} \partial_{j} F) \end{aligned}

$\begin{align} \square f & = \frac{1}{\sqrt{-\det g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-\det g} g^{\mu\nu}\partial_{\nu} f ) \\ & = - \frac{1}{\alpha^{2}}\partial^{2}_{t} f + \frac{1}{\alpha^{2}}\beta^{i}\partial_{i}\partial_{t}f+\frac{1}{\alpha\sqrt{\det h}}\partial_{i}\left(\beta^{i}\frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} \partial_{t}f\right)+\frac{1}{\alpha\sqrt{\det h}}\partial_{i}\left(\alpha\sqrt{\det h}g^{ij}\partial_{j}f\right) \end{align}$ e integrando

(1)

$\eqref{intkg}$ por partes obtenemos

\begin{aligned} 0 = \int d^{3} X \sqrt{det h} α [\frac{ω^{2}}{α^{2}} | F |^{2} - \frac{i ω}{α^{2}} (\bar{F} ⟨ β, d F ⟩ - F ⟨ β, d \bar{F} ⟩) - {gramo}^{i j} \partial_{i} F \partial_{j} \bar{F} - {metro}^{2} | F |^{2}] \end{aligned}

$\begin{align} 0=\int d^{3}x \sqrt{\det h} \alpha \left[ \frac{\omega^{2}}{\alpha^2}|f|^{2}-\frac{i\omega}{\alpha^{2}}(\bar{f}\langle \beta,df\rangle - f \langle \beta, d\bar{f}\rangle )-g^{ij}\partial_{i}f\partial_{j}\bar{f}-m^{2}|f|^{2}\right] \end{align}$ y por lo tanto

\begin{aligned} I = - ω \int \frac{det h}{α} | F |^{2} + \frac{1}{ω} \int \sqrt{det h} α ({metro}^{2} | F |^{2} + {gramo}^{i j} \partial_{i} F \partial_{j} \bar{F}) . \end{aligned}

$\begin{align} I=-\omega \int \frac{\det h}{\alpha}|f|^{2}+ \frac{1}{\omega}\int \sqrt{\det h}\alpha \left(m^{2}|f|^2 + g^{ij}\partial_{i}f \partial_{j} \bar{f}\right). \end{align}$ Podemos sustituir esto en nuestra expresión original por

(f, f)

$(f,f)$

\begin{aligned} (F, F) = ω \int d^{3} X \frac{\sqrt{det h}}{α} | F |^{2} + \frac{1}{ω} \int d^{3} X \sqrt{det h} α ({metro}^{2} | F |^{2} + {gramo}^{i j} \partial_{i} F \partial_{j} \bar{F}) \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} (f,f)=\omega \int d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} |f|^{2}+\frac{1}{\omega}\int d^{3}x \sqrt{\det h} \alpha \left(m^{2} |f|^{2} + g^{ij} \partial_{i}f\partial_{j}\bar{f} \right) \ge 0 \end{align}$

Soluciones de frecuencia positiva en un espacio-tiempo estacionario

gj255

AccidentalFourierTransformar

gj255

Respuestas (1)

giuppep

Campos sin masa en espaciotiempos curvos

Tratamiento moderno de QFT efectivo en espacio-tiempo curvo

Resolviendo la ecuación de KG en coordenadas de Rindler

¿Podemos probar QFT en un espacio-tiempo curvo?

¿Diferencia entre QFT en espacio-tiempo curvo, semiclásico y gravedad cuántica?

Densidad lagrangiana de Dirac en espacio-tiempo curvo

Estados de una partícula en espaciotiempos curvos

¿Cómo aprender QFT en el espacio-tiempo curvo mediante el autoaprendizaje?

Lectura sugerida para la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo

Investigación de relatividad general y QFT en espacio-tiempo curvo