El teorema de Bertrand caracteriza las leyes de fuerza que rigen las órbitas circulares estables. Establece que las únicas leyes de fuerza permisibles son el potencial de Hooke y la ley del cuadrado inverso. La demostración del teorema involucra algunas técnicas de perturbación y expansión en serie.
Lo más natural que me viene a la mente cuando pienso en un problema así es que la fuerza efectiva debería ser una fuerza restauradora para que las órbitas circulares sean estables.
, para que la órbita sea circular.
, para que la órbita sea estable. Suponiendo una ley de potencia, , para la fuerza central, resolverla me da la solución .
Esto es muy débil en comparación con el enunciado del Teorema de Bertrand. ¿Alguien podría explicarme el fundamento detrás de la técnica de perturbación utilizada y qué falta en mi interpretación de 'estable' en mi derivación?
Lo que acaba de hacer fue encontrar una condición para que las fuerzas atractivas de ley de potencia tengan órbitas estables donde estable significa que permanecen limitadas cuando se perturban alrededor de la órbita circular. Obtuviste el resultado correcto.
Sin embargo, el teorema de Bertrand dice algo diferente: las únicas fuerzas cuyas órbitas acotadas implican órbitas cerradas son la ley de Hooke y la fuerza del cuadrado inverso atractivo . Una órbita cerrada es aquella en la que la partícula repite su impulso y posición después de un tiempo finito: se cierra en el espacio de fases.
La idea detrás de la prueba del Teorema de Bertrand es considerar una órbita perturbada y luego calcular los períodos de la revolución angular y las oscilaciones radiales. Si estos períodos son conmensurables, entonces la órbita está cerrada. Puedes encontrar la prueba aquí .
usuario36790
Lim Zhanfeng