Órbitas Kepler: Pequeñas Perturbaciones->Órbitas Elípticas

Respuesta corta: use el componente de aceleración radial$a_\mathrm r$del total$\bf a$por la fuerza central y luego deducir la ecuación SHM usando las propiedades del movimiento orbital circular ( también se pueden usar las curvas de energía potencial efectiva ) que$\dot r= 0$y teniendo en cuenta el hecho de que SHM solo ocurriría cuando la órbita circular sea estable.

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Aquí el enfoque se discute detalladamente:

La componente radial de la fuerza central.$\bf F$es dado por

$$\mathbf F\cdot \mathbf e_\mathrm r~=~ m\left[\ddot r - r(\dot \theta)^2\right]\;.\tag 1$$

Debido a la pequeña perturbación, el radio de la órbita circular cambió de$r_0$a$r(t) ~=~r_0 + \rho(t)~~_; ~~~\rho(0)\ll r_0\;.$

Usando$\mathit l= mr^2\dot \theta=\textrm{const}$,$(1)$se convierte

$$\ddot\rho(t)- \frac{l^2}{m^2(r_0+ \rho(t))^3}~=~ \frac{F_\mathrm r(r_0+ \rho(t))}{m}~\tag {1-a}$$

Ahora,

$$\begin{align}(r_0+ \rho(t))^{-3}&=r_0^{-3}\left(1+ \frac{\rho}{r_0}\right)^{-3}\\ &\approx r_0^{-3}\left(1-3\frac{\rho}{r_0}\right)\\ F_\mathrm r(r_0+\rho)&= F_\mathrm r(r_0) +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\rho+ \ldots \\ &\approx F_\mathrm r(r_0) +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\rho\end{align}$$

Entonces,

$$\ddot\rho- \frac{l^2}{m^2r_0^3}\left(1-3\frac{\rho}{r_0}\right)= \frac{F_\mathrm r(r_0)}m +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\cdot \frac{\rho}m\tag{1-b}$$

De la ecuación de la órbita$^\ddagger$, obtenemos

$$\mathit l^2=- mr_0^3 F_\mathrm r(r_0)_;$$

Entonces,

$$\ddot \rho+ \left[\frac{3\mathit l^2}{m^2r_0^4}- \frac{1}{m}\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dt}\bigg |_{r=r_o}\right]\rho~=~0\;.$$

Esto se puede escribir como

$$\ddot \rho + \omega^2 \rho ~=~0\;.\tag 2$$

Ahora, esta es una ecuación diferencial de segundo orden para un oscilador armónico simple con frecuencia$\omega\;,$dónde

$$\omega^2 ~=~ \frac{3\mathit l^2}{m^2r_0^4}- \frac{1}{m}\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dt}\bigg |_{r=r_o}\;.$$

A menos que la órbita circular sea inestable, una oscilación radial armónica simple sobre$r=r_0$ocurriría (es decir, SHM ocurriría si$\omega^2\gt 0\;.$)

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$\ddagger$Derivaríamos la ecuación de la órbita de$(1)$expresando$r$y sus derivados en términos de$\theta\;.$

$$\begin{align}\dot r &= \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\\ \ddot r&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\dot \theta\right)\\&=\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\dot\theta ^2 + \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\ddot \theta \end{align}$$

Dejar

$$\mathbf H \stackrel{\text{def}}{=} \mathbf r\times \dot{\mathbf r} =\frac{\mathbf L}m \;.$$

Por lo tanto

$$\begin{align}\dot \theta &= \frac{|\mathbf H|}{r^2}\\ \implies \ddot \theta &=-\frac{2|\mathbf H|}{r^3} \, \dot r\;.\end{align}$$

Poniendo todo esto en$(1),$obtenemos

$$\begin{align}\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\dot\theta ^2 + \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\ddot \theta- r(\dot \theta)^2& = \frac{F_\mathrm r}{m} \\ \implies\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2 +\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\left(-\frac{2|\mathbf H|}{r^3}\dot r\right) - r ~\left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2 &= \frac{F_\mathrm r}{m}\\ \implies \left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2\left[\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2} - 2\frac{\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\right)^2}{r}-r\right]&=\frac{\mathrm F(r)}{m}\\ \implies \frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2} - 2\frac{\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\right)^2}{r}-r&= \frac{r^4 F_\mathrm r}{|\mathbf H|^2 m}\;.\tag{i}\end{align}$$

$(\rm i)$es la ecuación orbital .

Ahora, aplicando los hechos de que para órbitas circulares,$\dot r,~\ddot r~=~0\,,$obtenemos el valor de

$$|\mathbf H|~=~\sqrt{ -\frac{r^3F_\mathrm r}{m}}\;,$$ dónde $r~=~r_0\;.$

Es posible que haya malinterpretado la pregunta un poco. La pregunta significa implicar una perturbación instantánea de una órbita circular (un impulso, por ejemplo, una patada de momento) da una órbita elíptica. Su segundo enfoque implica que está agregando un movimiento armónico simple a la elipse, o tal vez que está aplicando una fuerza externa SHM dependiente del tiempo a la partícula, y ninguno de esos casos termina necesariamente con una órbita elíptica.

En mecánica clásica, la mejor forma de resolver este problema es mediante el método del potencial efectivo. Un objeto de masa$m$y en un radio instantáneo$r$orbitando con momento angular$J$se comporta como si además del potencial atractivo hubiera otro potencial

$$V_{\mbox{eff}}= \frac{J^2}{2mr^2}$$ Ahora $J$es una constante del movimiento (conservación del momento angular. Entonces la suma de este y el $-\frac{GmM}{r}$potencial gravitatorio da un "potencial" total para el movimiento radial que se eleva hasta el infinito cerca $r=0$, se aproxima a cero desde abajo para grandes $r$y tiene un mínimo en algún radio $r_0$. El movimiento angular se puede calcular una vez que conoce el movimiento radial ya que $$\dot{\phi} = \frac{J}{mr^2}$$

Una órbita circular comienza y permanece para siempre en$r=r_0, \dot{r} = 0$. Si en cambio comienzas en$r = r_0, \dot{r} \neq 0$obtienes movimiento de oscilación en$r$, y por lo tanto una órbita no circular.

Pero eso no es lo mismo que demostrar que la órbita es una elipse. De hecho, la razón por la que la órbita es una curva cerrada es que la$1/r$forma del potencial da un período de oscilación que coincide exactamente con el período angular. Por tanto, no hay avance del perihelio en el problema de los 2 cuerpos en la gravitación clásica.

Si el potencial fuera, digamos,$r^{-1.1}$las órbitas no serían elípticas. Y, de hecho, en relatividad general, un cuerpo que orbita en una métrica de Schartzchild no sigue una órbita elíptica. Pero la órbita para cualquier período angular está muy, muy cerca de una elipse, y si consideras cada órbita como una elipse, como no hay una coincidencia exacta en los períodos radial y angular, obtienes un pequeño avance en el perihelio.