Regularización: ¿Qué tiene de especial el potencial Coulomb/Newtoniano y armónico?

Quería saber si el procedimiento para la regularización del potencial de Coulomb descrito en Celletti (2003): Fundamentos de la teoría de la regularización podría generalizarse a potenciales polinómicos arbitrarios. Entonces, en lugar de comenzar con una ecuación de movimiento con una fuerza$F \sim x^{-2}$Empecé con una fuerza generalizada$F \sim x^{n}$. Entonces la ecuación de movimiento y la correspondiente ecuación de energía son:

$$\begin{align} \ddot{x} + K x^n = 0 && \frac{1}{2}\dot{x} + \frac{K}{n+1}x^{n+1} = \text{const.} := - E \end{align}$$ Ahora, siguiendo a Celletti, observé la transformación generalizada $$\begin{align} x = u^{-n} && \frac{dt}{ds} = x = u^{-n} \end{align}$$ Insertando estas transformaciones en la ecuación de movimiento y la ecuación de energía se obtiene con $\frac{du}{ds}=u'$ $$\begin{align} u'' - u \left[ \left(\frac{u'}{u}\right)^2 + \frac{K}{n}u^{n(n+1)}\right] = 0 && \frac{1}{2}\left(\frac{u'}{u}\right)^2 + \frac{K}{n^2(n+1)}u^{n(n+1)} = -E \end{align}$$ Ahora todo el ejercicio de regularización es transformar la ecuación de movimiento a la forma más simple de un oscilador armónico $u'' + 2Eu = 0$( Bartsch (2003): La transformación de Kustaanheimo-Stiefel en álgebra geométrica ). Pero vemos de las dos ecuaciones anteriores, que los términos entre corchetes son solo iguales al doble de la energía, si $$n = \frac{n^2(n+1)}{2}$$ o después de resolver la ecuación cuadrática correspondiente $n^2+n-2=0$ $$\begin{align} n_1 = 1 \ &\text{and}\ n_2 = -2 \end{align}$$ Entonces parece que uno solo puede regularizar las fuerzas de Coulomb $F \sim x^{-2}$y fuerzas armónicas $F \sim x$. Este resultado me intrigó un poco, porque destaca las mismas fuerzas/potenciales que el teorema de Bertrand . Pero, ¿qué tiene que ver con la regularización la propiedad de que todas las órbitas ligadas son también órbitas cerradas (teorema de Bertrand)? ¿Qué tiene de especial el Coulomb y el potencial armónico que se destacan en ambos casos? ¿Tienen estos potenciales alguna simetría más profunda en común, de modo que la regularización y el teorema de Bertrand solo puedan ser cumplidos por ellos? ¿O se trata simplemente de una relación espuria entre el teorema de Bertrand y la teoría de la regularización?