¿En qué proporciones se ajustan la longitud y el tiempo para preservar la velocidad de la luz?

Desde su punto de vista, su amigo parece estar a) envejeciendo más lentamente que cuando está en reposo con respecto a usted, y b) "aplanado" en la dirección de su movimiento. Más específicamente, estas cantidades están "apagadas" por un factor de$\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, dónde$v$es la velocidad de tu amigo. Estos son siempre los ajustes realizados para "preservar" la velocidad de la luz. En tu ejemplo,$\gamma = 2/\sqrt3 \approx1.15$. Entonces, el período del reloj de tu amigo es$1.15$veces más largo que el tuyo, y su escala es$1.15$veces más corto que el tuyo. De hecho, esta es la única manera posible de que$c$puede ser el mismo en todos los marcos de referencia.

EDITAR: aquí, derivaré las fórmulas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud mencionadas anteriormente.

Imagina que tu amigo va en un vagón de tren de altura$L$moviéndose a velocidad$v$. Digamos que el carro tiene espejos en el techo y el piso, y que tiene un reloj que funciona marcando cada vez que un haz de luz (que viaja repetidamente desde el piso hasta el techo y de regreso) toca el piso. Desde su punto de vista, el período de ticks es$\Delta t = 2L/c$. Sin embargo, desde mi punto de vista, digamos que el carro recorre una distancia$x$entre cada tic. Entonces la luz viaja una distancia$\sqrt{x^2+4L^2}$entre cada tick, por lo que el período de ticks es (observando que$x = v\Delta t'$)

$$\Delta t' = \frac{\sqrt{x^2+4L^2}}{c} = \frac{\sqrt{v^2\Delta t'^2+4L^2}}{c}$$ Resolviendo para $\Delta t'$Nos da $$\Delta t' = \frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta t$$ lo que nos da la fórmula que describí anteriormente. En cuanto a la contracción de la longitud, supongamos que una partícula se desintegra en el tiempo $t$, donde este tiempo se mide a partir de su propio marco de referencia. Además, supongamos que viaja a una velocidad $v$hacia un observador. Como vimos arriba, para el observador, la partícula tomará $\gamma t$decaer. Así, viaja $L' = v\gamma t$en su vida, desde el punto de vista del observador. Sin embargo, en el marco de referencia de la partícula, viaja una distancia $L = vt$. Así, tenemos $L' = \gamma L$(es decir, el entorno parece "más corto" a la partícula en la dirección de su movimiento).