Sobre la co-primalidad de los números tipo brazalete

Haciendo algunas investigaciones relacionadas (más información en una pregunta anterior), me he topado con este problema interesante que parece que no puedo resolver por mí mismo:

Sea un número entero$N$Sea el número de dígitos impresos en un brazalete, que puede tener dos valores: 1 y 0. Debido a la simetría rotacional de un brazalete, cada brazalete tiene$N$posibles "rotaciones", o secuencias de 1 y 0, asociadas con él. Por ejemplo, las secuencias "$s_1 = 10010$", "$s_2 = 01001$", "$s_3 = 10100$", etc. son todas rotaciones de la misma pulsera (desplazamiento de todos los dígitos a la derecha y bucle al final).

El valor$V$de una secuencia particular$s$se decide con el siguiente procedimiento:

1) El valor de una secuencia es la suma del valor$v_i$de sus dígitos$s_i$, dónde$i$va de 1 (más a la derecha) a$N$, (más a la izquierda).

2) El valor del dígito más a la derecha$v_1$es 1 si$s_1 = 1$, o 0 si$s_1$= 0.

3) El valor$v_i$para$i > 1$es$v_i = 2^{i-1}*s_i*3^d$, dónde$d$es igual a la suma de todos los dígitos$s_j$,$j<i$.

Como ejemplo , tomemos la secuencia$s$= 011.$v_1 = 1$, y$v_2 = 2*1*3 = 6$, y$v_3 = 4*0*9$, y entonces$V = 7$

Como hemos visto antes, cada pulsera tiene$N$secuencias asociadas, y cada una de ellas tiene un valor asociado. Para nuestro ejemplo anterior ("011"), tenemos las otras secuencias "101", "110". Sus valores asociados son$13$y$14$respectivamente.

En resumen , nuestro brazalete único tiene los valores 7, 13 y 14 asociados con sus secuencias bajo rotación.

Teorema : Para$N$>3 y excluyendo las secuencias que se repiten antes del bucle$N$veces (como "000", "1010"), al menos dos valores de cada brazalete son relativamente coprimos, EDITAR: o uno de los valores es un número primo.

¿Puedes probar o refutar este teorema? En nuestro ejemplo, 7 y 13 son coprimos, ya que son números primos. Más ejemplos: La pulsera "00101" tiene los siguientes valores asociados a su secuencia y rotaciones: EDIT 13,50,25,52,26.