¿Método para encontrar si un polinomio tiene raíces irracionales?

Si$P$de grado$n$y con$P(0)\ne 0$sólo tiene raíces racionales, entonces éstas deben ser de hecho números enteros (distintos de cero) y$P(0)$es (hasta firmar) su producto. De este modo

$$\tag1 \frac{P(|P(0)|)}{P(0)}=\frac{\prod_{i=1}^n(|P(0)|-\alpha_i)}{\prod_{i=1}^n(0-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^n\left(1-\frac{|P(0)|}{\alpha_i}\right)$$ es el producto de$n$números enteros Como$P(0)\ne 0$, ninguno de los factores es$=1$. si además$P(|P(0)|)\ne 0$, ninguno de los factores es$=0$.

Caso 1. Si ninguno de los factores en$(1)$es$=-1$, entonces todo$n$los factores son enteros$\notin\{-1,0,1\}$y por lo tanto cada uno contribuye al menos con un factor primo. Entonces en este caso$z\ge n$, como se desee.

Caso 2. Ahora suponga que al menos uno de los factores en$(1)$es$=-1$, lo que ocurre precisamente cuando$|P(0)|=2\alpha_i$para algunos$i$. Tenga en cuenta que en este caso, el producto de los otros$n-1$raíces es$\pm2$, es decir, exactamente uno de ellos es$\pm2$(pero por la condición adicional de que$P(2)\ne 0$, debe ser$-2$) y el resto son$\pm1$. En otras palabras,

$$P(X)=(X-\alpha)(X+ 2)(X-1)^{n_1}(X+1)^{n_2}$$ para algún entero positivo$\alpha$y con$n_1+n_2=n-2$. Explícitamente, esto hace$|P(0)|=2\alpha$y $$\tag2\frac{P(|P(0)|)}{P(0)}=\frac{P(2\alpha)}{P(0)}=(-1)\cdot (\alpha+1)\cdot (1+2\alpha)^{n_1}(1-2\alpha)^{n_2}$$

• Si$\alpha=1$, esto se convierte$(-1)^{n_2+1}\cdot 2\cdot 3^{n_1}$y tiene$z=n_1+1$factores primos. Como esto hace$z<n$, obtenemos contraejemplos a la afirmación! Para un contraejemplo concreto, considere

  $$P(X)=(X-1)(X+2)=X^2+X-2,$$ para cual$\frac{P(|P(0)|}{P(0)}=\frac{P(2)}{-2}=-2$tiene un solo factor primo, pero solo tiene raíces racionales.

• no podemos tener$\alpha=2$como eso haría$P(2)=0$.

• Si$\alpha\ge 3$, cada factor en$(2)$excepto el primero es$\notin\{-1,0,1\}$, por lo tanto, la única manera de tener$z<n$es cuando todos estos son$\pm$un primo En particular$(2\alpha-1,2\alpha+1)$debe ser un par de primos gemelos. Como$\alpha=2$se excluye, estos primos gemelos deben ser de la forma$6k\pm1$, es decir, debemos tener$\alpha=3k$y$\alpha+1=3k+1$también prima. Esto sucede cuando$a\in\{6, 30,36,96,156,210,330,546,576,660,726,810,936,966,\ldots\}$y así da lugar a muchos más contraejemplos. Aquí hay una les trivial concreta:

  $$P(X)= X^4 - 94X^3 - 193X^2 + 94X + 192$$ tiene$P(0)=192$,$P(192)=686536512$,$\frac{P(192)}{P(0)}= 97\cdot 191\cdot 193$, entonces$z=3<n=4$.