Pregunta categórica ingenua sobre números primos, números primos e irreducibles

Mi pregunta es sobre la forma "correcta" de pensar en números/elementos primos.

Mirando los números primos en$\mathbb Z$, hay dos formas de caracterizarlos:

1. $p$es primo si sus únicos divisores son$\pm 1,\pm p$
2. $p$es primo si y si$p\mid ab\implies p\mid a\;\vee\;p\mid b$

La primera caracterización lleva a definir elementos irreductibles, mientras que la segunda conduce a la noción de elemento primo, que luego conduce a ideales primos y todo tipo de cosas bonitas. Estoy tentado a decir que los elementos primos son la generalización "correcta" de los números primos porque son fundamentales para la geometría algebraica. En este sentido, quizás la forma "correcta" de ver los números primos sea la segunda, mientras que la primera caracterización es solo una coincidencia porque$\mathbb Z$es una UFD.

Inspirándonos en la respuesta de Zhen Lin a esta pregunta , veamos un anillo conmutativo$R$como una categoría con$a\rightarrow b\iff a\mid b$. Entonces podemos reescribir los dos enfoques de la siguiente manera:

1. En términos de flechas hacia él: las únicas flechas hacia$p$son de sus asociados
2. En términos de flechas :$p\rightarrow ab\implies p\rightarrow a\;\vee\;p\rightarrow b$

De hecho, primos e irreducibles coinciden en dominios mcd, y ser un dominio mcd es lo mismo (creo) que pedir la categoría$R$tener productos. Por lo tanto, para que los irreducibles sean primos, generalmente necesitamos$R$tener algunas propiedades de completitud. Por otro lado, los números primos son siempre irreducibles.

Una forma inmediata en la que los elementos primos son "mejores" es que las factorizaciones en primos son automáticamente únicas. Para ver esta nota el cociente entre un ideal generado por un primo es un dominio integral. Luego toma la igualdad$\prod_ip_i=\prod_jq_j$a cada cociente por$\left\langle p_i \right\rangle$para deducir la igualdad.

Pero me pregunto, ¿existe quizás una razón más convincente a priori para elegir el segundo enfoque en lugar del primero? Tal vez alguna razón elegante (quizás incluso filosófica) para mirar las flechas fuera de$p$? Por ejemplo, pensé que el segundo enfoque tiene más sentido porque podría dar más flechas que el primero.

Las justificaciones "filosóficas" no rigurosas también son bienvenidas. Solo quiero tener una idea de cómo la gente ve los números primos.