¿Cómo podemos describir los electrones de átomos multielectrónicos (es decir, no de hidrógeno) cuando las ecuaciones/soluciones analíticas solo existen para el hidrógeno?

Los únicos átomos para los que la ecuación de Schrödinger tiene una solución analítica son los átomos de un electrón, es decir, H, He$^+$, li$^{2+}$etcétera. Esto se debe a que, con más de un electrón, las fuerzas entre los electrones hacen que la ecuación sea demasiado difícil de resolver analíticamente. Sin embargo, durante los aproximadamente 90 años desde que Schrödinger propuso su ecuación, se ha desarrollado una amplia gama de métodos numéricos para resolverla y, por supuesto, las computadoras modernas son tan poderosas que pueden calcular la estructura (electrónica) de cualquier átomo con facilidad. Esto se aplica incluso a átomos pesados ​​en los que es necesario tener en cuenta los efectos relativistas.

La ecuación de Rydberg es una aproximación porque no tiene en cuenta la estructura electrónica fina. Sin embargo, es una aproximación bastante buena. Funciona porque para un átomo de un electrón la energía de los orbitales (ignorando la estructura fina) es proporcional a 1/$n^2$, dónde$n = 1$es el orbital de menor energía,$n = 2$es el segundo más bajo y así sucesivamente.