Sistema hamiltoniano con singularidad de velocidad

Es fácil entender el fenómeno simplemente usando la conservación de la energía.

NB A partir de ahora asumo $\phi \geq 0$.

Como el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, el hamiltoniano se conserva a lo largo de las soluciones:

$$\sqrt{1-p(t)^2} + \phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ La evolución del sistema se mantiene necesariamente a lo largo de una componente conexa de la curva anterior en el plano $\psi, p$, determinada por las condiciones iniciales. Para entender la dinámica sería muy útil trazar las curvas $$\sqrt{1-p^2} + \phi \cos \psi =E$$ para varios valores de $E$, sin embargo sigo explotando un enfoque analítico.

Supongamos que en cierto tiempo la velocidad de$\psi$diverge, es decir,$p(t)=\pm 1$, de este modo

$$\phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ Si también asumes $p(0)=0$como escribiste, tienes $$\phi \cos \psi(t) = 1+\phi \cos \psi(0)\:.$$ A saber $$\cos \psi(t) = \frac{1}{\phi} + \cos \psi(0)\:.$$ Desde $|\cos \psi(t)|\leq 1$y $|\cos \psi(0)|\leq 1$, esta identidad es posible sólo si $1/\phi \leq 2$eso es $$\phi \leq \frac{1}{2}\:.\tag{1}$$ Suponiendo que, desde $|\cos \psi(t)|\leq 1$tenemos $$-1 -\frac{1}{\phi} \leq \cos \psi(0) \leq 1-\frac{1}{\phi} \leq 1$$ La condición del lado izquierdo siempre se cumple ya que $-1 -\frac{1}{\phi} < -1 \leq \cos \psi(0)$. La otra condición conduce a $$\cos \psi(0) \leq 1-\frac{1}{\phi}$$ lo que implica, tratar con $\psi(0) \in [0,2\pi]$ $$\pi -\cos^{-1}\left(1- \frac{1}{\phi}\right) \geq \psi(0) \geq \cos^{-1}\left(1- \frac{1}{\phi}\right)\:.\tag{2}$$ (1) y (2) son condiciones necesarias para la existencia de soluciones con $p(0)=0$tal que $\psi'(t)$diverge durante algún tiempo $t$.

El hecho de que también son suficientes sólo puede probarse mediante un examen más detenido discutiendo cuándo el punto$(\psi(t),p(t))$se le permite detenerse a lo largo de un componente conectado de la curva

$$\sqrt{1-p(t)^2} + \phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ En caso contrario el punto debe moverse a lo largo de la componente conexa completa alcanzando los puntos anómalos con $p=\pm 1$si están permitidos en la curva. Las paradas a lo largo de la curva no son más que los ceros del gradiente del hamiltoniano.

Si

$$\phi > \frac{1}{2}\:,$$ la conservación de la energía impide que el sistema admita soluciones patológicas si estas soluciones satisfacen $p(t_0)=0$para algunos $t_0$en su dominio (dado que el sistema es autónomo, siempre podemos cambiar $t_0$a $0$).

Si intento integrar numéricamente las ecuaciones de movimiento, el solucionador da una solución para ψ con un salto discontinuo en la singularidad, con ψ pasando de algún valor$−ψ_0$a$ψ_0$.

Creo que es solo un problema del solucionador. Estas configuraciones$(\pm 1, \psi_0)$en el espacio de configuración$(p,\psi)$no tienen nada patológico desde el punto de vista geométrico. solo la curva$\psi=\psi(p)$atravesar$(\pm 1, \psi_0)$y tiene tangente vertical allí (paralelo a$p = \pm 1$) desde

$$\frac{d\psi}{dp} = \frac{\psi'}{p'} = - \frac{p}{\phi \sqrt{1-p^2} \sin \psi}\:,$$ a menos que el desastre ocurra exactamente en $(\pm 1, k\pi)$que requieren un análisis más sofisticado.