Tratando de resolver la ecuación de celosía Toda 2D con el enfoque de par laxo

Estoy trabajando en este hamiltoniano:

$$H = \frac{p_1^2 + p_2^2}{2m} + e^{q_2-q_1} + e^{q_2} + e^{-q_1} -3$$ Gracias por la pista de que es una modificación de la Ecuación de Toda Lattice. Permítanme esbozar lo que intenté hasta ahora y por qué no funciona: Análogo a las publicaciones mencionadas que presenté $$b_n:= \frac{1}{2}Exp{(\frac{q_n-q_{n+1}}{2})}\\ a_n:= -\frac{p_n}{2}$$ donde sigue directamente con $\frac{\partial H}{\partial q_i}=-p_i$y $\frac{\partial H}{\partial p_i}=q_i$: $$\dot{b_n} = (a_{n+1} - a_n)b_n \\ \dot{a_n} = 2 (b_{n}^2 - b_{n-1}^2)$$ Cuando ahora usa el Lax Pair $L$, $B$: $$L f_n = b_n f_{n+1} +b_{n-1} f_{n-1} + a_n f_{n}$$

$$B f_n = b_n f_{n+1} - b_{n-1} f_{n-1}$$ se puede demostrar que $\partial_t L=[B,L]$. Mi problema surge al definir las condiciones fronterizas de mi pareja $q_1$y $q_2$en la retícula 2d de arriba, ya que uno necesita cambiar a la representación 3d $\{b_0,b_1,b_2\}$para satisfacer las condiciones periódicas (una coordenada mutua $q_3 = 0$acoplado a los demás). Como se puede demostrar fácilmente que $\dot{\lambda} = 0$(dónde $\lambda$es un valor propio $Lv=\lambda v$) las constantes de movimiento se reducen al cálculo de los valores propios. Pero en este caso los valores propios de $L$no parece simplificar, de hecho no parece ser una solución, que era mi objetivo inicial.

En general, este enfoque parece ser excesivo para el problema 2d, ya que resuelve la red de Toda n-dimensional.

1. ¿Alguien sabe de un enfoque más fácil para el problema 2d?

2. La matriz$L$parece dar la solución incorrecta:

   $$L = \begin{pmatrix} a_0 & b_0 & 0 \\ b_0 & a_1 & b_1\\ 0 & b_1 & a_2 \end{pmatrix}$$ Matrix no resuelve más$\partial_t L = [B,L]$(con$B=L_+ - L_-$) ni los valores propios son constantes de movimiento. ¿Ha ido mal?

3. Dado que aquí se puede aplicar el método de dispersión inversa, traté de obtener los datos de dispersión, pero en realidad no pude realizar la tarea. ¿Alguna literatura?