¿Cómo encontrar oscilaciones de punto cero para este sistema?

Es un problema interesante. Por lo general, encontraría las oscilaciones infinitesimales estableciendo$p_i = b + \delta p_i$,$q_i = a + \delta q_i$y expandiendo el hamiltoniano a segundo orden en el$\delta p_i$,$\delta q_i$. Aquí, sin embargo, esto no funciona ya que obtienes el mismo hamiltoniano,

$$H = \sum_{i,j} M_{ij} \sqrt{(\delta p_i - \delta p_j)^2 + (\delta q_i - \delta q_j)^2}$$ Supongo que ya sabías esto. Sin embargo, el resultado te dice algo importante: el problema tiene una invariancia de escala. Cartografía $p_i \to \alpha p_i$, $q_i \to \alpha q_i$y $t \to \alpha t$para factor de escala $\alpha$(dónde $t$es el tiempo) reproduce exactamente las mismas ecuaciones de movimiento.

Si un problema tiene alguna escala de longitud natural$l$entonces puedes buscar soluciones infinitesimales alrededor del equilibrio: es decir, soluciones donde$\delta q_i \ll l$para todos$i$y cuáles son correctos al orden principal en$\delta q_i /l$. Los modos normales del sistema son soluciones infinitesimales que tienen un comportamiento de oscilador armónico simple. La falta de una escala natural en este problema significa que no es posible hablar de 'soluciones infinitesimales', porque no hay manera de definir lo que significa 'infinitesimal'. Por la misma razón, no puede esperar que el sistema tenga modos normales de oscilación.

Todavía puede ser posible encontrar soluciones aproximadas, pero es difícil saber qué tipo de aproximación hacer sin saber qué tipo de comportamiento/preguntas le interesan (por ejemplo, algunas formas de$M_{ij}$puede ser más fácil que otros).

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Tenga en cuenta que el sistema tiene algunas cantidades conservadas:

$$\sum_{n} z_n = \mathrm{constant}$$ $$\sum_{m , n} M_{mn}|z_n-z_m| = \mathrm{constant}$$ y $$\sum_n |z_n|^2 = \mathrm{constant}$$ Los dos primeros están relacionados con las simetrías de traducción en $z$y en el tiempo, respectivamente. El tercero se sigue de la simetría bajo $z_n \to z_n e^{i\theta}$. La invariancia de escala no parece tener ninguna ley de conservación conectada.

Prueba de la tercera ley de conservación:

$\frac{d}{dt}\sum_n z_n {z_n}^\ast = \sum_n (\dot{z}_n {z_n}^\ast + z_n {\dot{z}_n}^\ast) = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{(z_m-z_n){z_n}^\ast - z_n({z_m}^\ast - {z_n}^\ast)}{|z_m-z_n|} = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{z_m{z_n}^\ast - z_n{z_m}^\ast}{|z_m-z_n|}$

El sumando es antisimétrico bajo permutación de$m$y$n$, y por lo tanto la suma total es cero.

Esto es todo lo que tengo: las siguientes son soluciones exactas para la evolución del espacio de fase de un sistema de$N$objetos. Estas soluciones pueden considerarse equilibrios estacionarios. ¿Hay alguna manera de hacer la teoría de la perturbación en relación con estas soluciones?

MarkA ha demostrado que hay tres cantidades conservadas

$$\sum_n z_n = \rm const\,,\quad \sum_n |z_n|^2 = {\rm const}, \quad \sum_{nm} M_{nm} |z_n - z_m| = {\rm const}$$ MarkA también ha notado una invariancia de escala espacial. Los dos primeros implican que el movimiento está acotado, la invariancia de escala implica infinitas interacciones de largo alcance, lo que sugiere que las distribuciones de masa de red simétrica o polígono simétrico pueden representar modos normales estables como en la física del estado sólido.

Primero consideramos el caso de$M_{nm}=M$para todos$n\neq m$. En todos los casos, las soluciones exhiben rotación de cuerpo rígido en el espacio de fase.

Polígono equilátero (vértices) Una solución particular es

$$z_n(t) = a + b \,e^{2\pi i n/N}e^{i \omega t} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ dónde $a$y $b$son constantes arbitrarias que establecen respectivamente la posición del centro de masa y el tamaño y la orientación inicial del polígono y $$\omega= \sum_{n=1}^{N-1}M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ | 1 - e^{2\pi i n/N} |} = \sum_{n=1}^{N-1} M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ 2 \sin (\pi n/N) } = -i M\sum_{n=1}^{N-1} e^{\pi i n/N} = M\cot \frac{\pi}{2N}$$ Podemos agregar un objeto al centro de masa del polígono, lo que mantendría esta configuración.

Segmento de línea Los objetos inicialmente equidistantes a lo largo de un segmento de línea también exhiben rotaciones estables. La configuración gira alrededor de su origen con una velocidad angular independiente de la escala espacial.

$$z_n(t) = a + b \frac{n-1}{N-1} e^{i \omega t (n-N)/2} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ $$\omega =\sum_{n=1}^{N-1} M(n-1) = M \frac{N(N-1)}{2}$$

La velocidad angular siempre es independiente del tamaño de la perturbación.$b$. Cada objeto se comporta como un oscilador armónico.

Es concebible que la rotación uniforme de objetos rígidos forme una clase más amplia de soluciones para las cuales$M_{ij} = m_im_j$. ¿Es esto cierto?

Sistemas infinitos $N$no tiene por qué ser finito en los ejemplos anteriores. El$N\rightarrow \infty$límite es un alambre circular de objetos en circulación o una barra recta que gira alrededor de su centro de masa.

Redes simétricas simétricas infinitas

$$z_n = a n + b m \quad n {\rm ~ and ~}m\in Z$$ son estáticos si $M_{nm}=M$o más generalmente si $M_{nm}$mide la distancia a lo largo de la malla con una métrica invariante de traslación y rotación arbitraria.

Acoplamientos no homogéneos Si$M_{nm}$son matrices diagonales de bloques finitos con todos los elementos iguales dentro de un bloque dado pero diferentes en diferentes bloques, entonces podemos superponer las soluciones anteriores. Los polígonos de cuerpo rígido asociados con cada bloque giran independientemente alrededor de su centro de masa.

Si$M_{nm}$es "casi" diagonal de bloque, con bloques fuera de la diagonal pequeños pero distintos de cero (en relación con los bloques diagonales), entonces los diferentes polígonos lo suficientemente alejados entre sí en el espacio de fase girarán alrededor de sus centros, y los centros se orbitarán entre sí lentamente correspondientes a la coeficientes de acoplamiento en los bloques fuera de la diagonal. Tenga en cuenta que "suficientemente lejos" significa una gran distancia de diámetro angular , de modo que los diferentes objetos dentro de las dos estructuras distintas estén separados por aproximadamente el mismo ángulo complejo en el espacio de fase.

El débil acoplamiento fuera de la diagonal distorsionará los polígonos en escalas de tiempo muy largas.