Concepto de trabajo realizado por primavera.

He actualizado ampliamente mi respuesta porque el OP tiene el mismo problema conceptual que muchos de nosotros más a menudo en el contexto de derivar el potencial eléctrico debido a una carga puntual y el potencial gravitacional debido a una masa puntual.
Mi respuesta puede ser larga, pero pensé que era necesaria porque ha causado muchos problemas en el pasado y, sin duda, lo hará en el futuro.

Con el resorte, el cambio en la energía potencial elástica de un resorte es igual al trabajo realizado por una fuerza externa mientras cambia la longitud del resorte con la definición alternativa, el cambio en la energía potencial elástica de un resorte es igual al trabajo realizado por menos la fuerza ejercida por el resorte mientras cambia la longitud del resorte.

Las cosas van bien cuando se considera que el resorte aumenta de longitud hasta cierta extensión.$x$de su longitud natural$x=0$cuando se aplica una fuerza externa, el resultado es que el cambio en la energía potencial elástica del resorte es$\frac 12 k x^2$dónde$k$es la constante del resorte.
Como se esperaba$\frac 12 k x^2$es una cantidad positiva, es decir, la energía potencial elástica del resorte ha aumentado.

El OP ha decidido observar el trabajo realizado por el resorte cuando la longitud del resorte disminuye y utilizando el hecho de que la fuerza debida al resorte es opuesta en dirección a la fuerza externa y el desplazamiento incremental de la fuerza.$dx$es tal que también es negativo, de modo que el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento incremental es positivo.
Hacer la integración entre la extensión inicial y la extensión final conduce a un valor negativo del trabajo realizado por el resorte y, por lo tanto, a un aumento en la energía potencial elástica del resorte, lo que obviamente es incorrecto.

Permítanme intentar explicar el error en la segunda derivación mirando un ejemplo mucho más simple en el que tenemos un resorte "mágico" que ejerce una fuerza constante.$F$cuando su longitud varía entre$x_{\rm A}$y$x_{\rm B}$con$x_{\rm B} > x_{\rm A}$.

Para tratar de aclarar lo que está sucediendo, también usaré un ejemplo numérico con la fuerza siendo de magnitud$5\,\rm N$y longitudes$x_{\rm B}$y$x_{\rm A}$ser$3\, \rm m$y$1\, \rm m$respectivamente.

Es un problema unidimensional y defino un vector unitario en la dirección x positiva$\hat x$y la fuerza externa que actúa sobre el resorte es$\vec F_{\rm external} = F_{\rm external} \hat x = +5 \hat x$.
Tenga en cuenta que$F_{\rm external}$es la componente de la fuerza en el$\hat x$dirección.

La posición del extremo del resorte cambia de$\vec x_{\rm initial} = x_{\rm initial} \hat x$a$\vec x_{\rm final} \hat x$y el desplazamiento del extremo del resorte, que es el desplazamiento de la fuerza externa, es$\Delta \vec x = \Delta x \hat x = \vec x_{\rm final} \hat x - \vec x_{\rm initial} \hat x$lo que resulta en$\Delta x = x_{\rm final} - x_{\rm initial}$.
Nuevamente tenga en cuenta que$x_{\rm final}$y$x_{\rm initial}$son componentes en el$\hat x$dirección.

El trabajo realizado por la fuerza externa es$\vec F_{\rm external} \cdot \Delta \vec x = F_{\rm external} \hat x\cdot \Delta x \hat x= F_{\rm external}\, \Delta x = F_{\rm external} (x_{\rm final} - x_{\rm initial})$.

En el ejemplo numérico con el resorte estirado$F_{\rm external} = 5\, \rm N$,$x_{\rm initial} = 1 \, \rm m$y$x_{\ rm final} = 3 \, \rm m$entonces el trabajo realizado por la fuerza externa es$5(3-1)= +10 \,\rm J$y este es el aumento de la energía potencial elástica del resorte.
Tenga en cuenta que hemos evaluado$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F_{\rm external} \, dx$

Pero esta fórmula también funciona cuando la longitud del resorte está disminuyendo.
Esta vez tienes$F_{\rm external} = 5\, \rm N$(la dirección de la fuerza externa sigue siendo la misma),$x_{\rm initial} = 3 \, \rm m$y$x_{\rm final} = 1 \, \rm m$entonces el trabajo realizado por la fuerza externa es$5(1-3)= -10 \,\rm J$es decir, se realiza trabajo sobre la fuerza externa y hay una disminución en la energía potencial elástica del resorte.
De nuevo hemos evaluado$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F_{\rm external} \, dx$

A riesgo de repetirme, me gustaría mostrar cómo funciona el análisis utilizado anteriormente si se considera el trabajo realizado por la fuerza ejercida por el resorte.
En este caso$\vec F_{\rm spring} = F_{\rm spring} \hat x$dónde$F_{\rm spring}$es la componente de la fuerza debida al resorte$\vec F_{\rm spring}$en el$\hat x$dirección.

El trabajo realizado por el resorte es$\vec F_{\rm spring} \cdot \Delta \vec x = F_{\rm spring}(x_{\rm final} - x_{\rm initial})$

En el ejemplo numérico$\vec F_{\rm spring} = -5 \hat x$y y el trabajo realizado por la fuerza del resorte que estira el resorte resulta ser$-10\, \rm J$y el trabajo realizado por la fuerza del resorte cuando la longitud del resorte disminuye es$-10\, \rm J$que es lo que uno esperaría.

Ahora intentaré explicar qué estaba mal con el método utilizado por el OP en el caso en que el resorte disminuyó en longitud.
En efecto, la fuerza debida a los resortes se escribió como$- F\hat x$sabiendo que la dirección de la fuerza debida al resorte era en dirección opuesta a$\hat x$.
Esto significa inmediatamente que$F$es positivo.

El desplazamiento se escribió como$–\Delta x \hat x$suponiendo que la longitud del resorte estaría disminuyendo.
Si el signo menos está ahí, ¿qué implica eso sobre$\Delta x$?
¡Debe ser positivo !

El OP evaluó$-F \hat x \cdot -\Delta x \hat x = F \Delta x = F (x_{\rm final} – x_{\rm initial})$usando esta integral$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F \, dx$con$x_{\rm final} < x_{\rm initial}$.
El uso de esta integral con una fuerza constante (por simplicidad) produce un valor para$\Delta x= x_{\rm final} – x_{\rm initial}$que es negativa cuando el resorte se contrae.

Lo que se ha hecho es que al establecer el desplazamiento incremental como$-\Delta x \hat x$entonces la implicación es que$x_{\rm final} > x_{\rm initial}$y, sin embargo, cuando se establece la integral$x_{\rm final}$se hizo más pequeño que$x_{\rm initial}$.

La resolución de esta contradicción es bastante sencilla.

Si desea evaluar la integral correcta cuando utiliza$-dx$debe invertir el orden de los límites que es equivalente a$\displaystyle \int_b^a f(x) (-dx) = \int_a^b f(x) dx$

Actualización como aclaración solicitada por el OP

todavía con$\hat x$definiendo una dirección quiero mostrar que el trabajo realizado todavía es

Esta vez considerando el trabajo realizado por el resorte cuando se comprime desde$\vec x_{\rm initial} = -1 \hat x$a$\vec x_{\rm final}=-3 \hat x$con el resorte ejerciendo una fuerza$\vec F_{\rm spring} = + 5 \hat x$

Trabajo realizado por el resorte

El signo menos significa que se ha realizado trabajo sobre el resorte, es decir, ha aumentado el potencial elástico del resorte.

En términos de una integral tenemos

Actualización adicional como aclaración solicitada por @user35508

El trabajo realizado por un resorte es$\displaystyle \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} \vec F_{\rm spring} \cdot d \vec x$entonces lo que uno necesita es una expresión para$\vec F_{\rm spring}$en términos del desplazamiento del extremo del resorte$\vec x = x \hat x$y es

Esta es la forma correcta de la fuerza ejercida por el resorte en que cuando el resorte se estira (x positivo) ejerce una fuerza en el$-\hat x$dirección y cuando el resorte se comprime (x negativo) ejerce una fuerza en el$+\hat x$dirección.

$\text{Work done by spring} = \displaystyle \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} \vec F_{\rm spring} \cdot d \vec x = \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} -kx\hat x \cdot dx \hat x = \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} -kx \, dx = \frac 12 k\left (x_{\rm initial}^2 -x_{\rm final}^2\right )$

por ejemplo si$x_{\rm initial} = -3$y$x_{\rm final} = 0$entonces esto representa un resorte comprimido que se extiende a su longitud natural y el trabajo realizado por el resorte es positivo.

esta fue mi respuesta original

Sea el resorte el sistema y haya una fuerza variable externa$F \hat x$actuando sobre el resorte en la dirección$\hat x$.
La magnitud de la fuerza externa es$kx$dónde$x$es la extensión del resorte.

Esta fuerza variable externa sufre un desplazamiento$dx \hat x$y el trabajo realizado por la fuerza externa es$F \hat x \cdot dx \hat x = F \, dx = kx \, dx$y este es el cambio en la energía potencial elástica almacenada en el resorte.

Tenga en cuenta que esta ecuación es cierta cuando el resorte se alarga y también cuando se acorta.
Cuando se realiza la integración, los límites de la integración definen si el resorte se está alargando o acortando, es decir, dando el signo correcto al cambio incremental en la longitud del resorte.$dx$.

Trabajo realizado por una fuerza externa que aumenta la longitud del resorte desde su longitud natural en$x$es

y este es el cambio en la energía potencial elástica almacenada en el resorte.

Ahora haz lo mismo otra vez pero haz que el resorte comience con extensión.$x$y vuelve a su longitud natural.

El trabajo realizado por la fuerza externa es ahora

y esto nuevamente es el cambio en la energía potencial elástica almacenada en el resorte.

Si consideras el trabajo realizado por la fuerza ejercida por el resorte$-kx \hat x$entonces esta cantidad de trabajo es igual a menos el cambio en la energía potencial elástica almacenada en el resorte.

está olvidando que "X" y "F" son cantidades vectoriales, por lo que también tienen una magnitud ... si resuelve la integral teniendo esto en cuenta y calcula la integral para calcular el trabajo realizado ... su pregunta está resuelta

creo que estas confundiendo la relacion$\vec F$tiene que$\vec x$con$dx$. La fuerza del resorte viene dada por la Ley de Hooke:$\vec F = -k \vec x$. No tiene relación con$dx$.Por ejemplo:

1. Un resorte unidimensional se estira desde$x_1$a$x_2$y$x_2 > x_1 > 0$. Entonces$W = \int_{x_1}^{x_2} F dx < 0$porque:
   • $x > 0$a lo largo de la integral
   • $F < 0$a través de la integral, ya que$F = - k x$
   • $dx > 0$ya que el límite superior es mayor que el límite inferior de integración.
2. Un resorte unidimensional se relaja desde$x_2$a$x_1$y$x_2 > x_1 > 0$. Entonces$W = \int_{x_2}^{x_1} F dx > 0$porque:
   • $x > 0$a lo largo de la integral
   • $F < 0$a través de la integral, ya que$F = - k x$
   • $dx < 0$ya que el límite inferior es mayor que el límite superior de integración.

Entonces puedes ver el signo de volteo integral porque los límites cambiaron;$F$ Sin embargo, nunca cambió de dirección , ya que está totalmente relacionado con el valor actual de$x$, no la dirección de integración$dx$.