Sistema de dos masas acopladas por resorte

gracias por definir$x$, con eso, puedo explicar cuál es el problema. Supongo que por la forma en que dibujaste$x_1$y$x_2$, esto también define los valores positivos de$x_1$y$x_2$.

La cosa es que das$x_1$y$x_2$con referencia a algunas posiciones de equilibrio$x_{1e}$y$x_{2e}$. Puede definir el movimiento armónico en este sistema de coordenadas, pero es un poco complicado justificar exactamente por qué los términos son como lo son.

La manera sin cerebro de hacerlo es comenzar con$x_1$y$x_2$con referencia al mismo origen. Decir$x_1$fueron la distancia de la masa 1 desde el punto donde el resorte izquierdo está unido a la pared, y$x_2$fueron la distancia de la masa 2 desde el mismo punto. Luego puede continuar y modelar los tres resortes. La longitud del primer resorte sería$x_1$, la longitud del segundo resorte sería$x_2 - x_1$y la longitud del tercer resorte es$L - x_2$. Claramente,$x_1$siente las fuerzas debidas al primer y segundo resorte, y cada fuerza es la constante del resorte multiplicada por la longitud, por lo que

$$m \ddot{x}_1 = - k_0 x_1 + k (x_2 - x_1).$$ Las señales están ahí porque el resorte izquierdo tira$x_1$hacia la izquierda (en contra de la dirección positiva del sistema de coordenadas que acabamos de elegir) mientras que el resorte central da lugar a un tirón hacia la derecha (en la dirección positiva del sistema de coordenadas). Del mismo modo, encuentras $$m \ddot{x}_2 = k_0 (L - x_2) - k (x_2 - x_1).$$ Esta vez, el resorte derecho tira hacia la derecha mientras que el resorte del medio tira hacia la izquierda, por lo que obtienes los signos opuestos. Por lo tanto, tienes una ecuación matricial $$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix},$$ y puede proceder a calcular las frecuencias a partir de la matriz de frecuencias.

Enlace entre descripciones

Tuve una especie de bloqueo cerebral ayer, así que me confundí un poco sobre el uso de diferentes posiciones de equilibrio. Entonces, para aclarar esto: puede transformar la ecuación anterior en orígenes de coordenadas arbitrarias para$x_1$y$x_2$. Escribamos nuevas coordenadas con la transformación.$x_1 \mapsto x_1' = x_1 - x_{1e}$y$x_2 \mapsto x_2' = x_2 - x_{2e}$. Evidentemente,$\textrm{d}^2/\textrm{d}t^2 x_i' = \textrm{d}^2/\textrm{d}t^2 x_i$para$i \in \{1,2\}$, y por inserción tenemos

$$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1' + x_{1e} \\ x_2' + x_{2e}\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}.$$ Ahora bien, si elige deliberadamente las posiciones$x_{1e}$y$x_{2e}$ser la posición de equilibrio, es decir $$\begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1e} \\ x_{2e}\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = 0,$$ que es solo el requisito de que las masas no sientan aceleración en esta configuración particular, llegas a $$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix}.$$

Si solo tiene un resorte con masa, tiene dos posibilidades para elegir el signo de fuerza$~+~$o$~-~$

$$m\ddot{x}=\pm k\,x$$

si tu eliges$~-~$firmar obtienes la solución con las condiciones iniciales$x(0)=x_0$y$\dot{x}(0)=0$

$$x(t)=x_0\,\cos(\omega\,t)$$

dónde$\omega=\sqrt{\frac km}$

si tu eliges$~+~$firmar obtienes la solución

$$x(t)=\frac 12 x_0 e^{\omega t}$$

pero esta solución es incorrecta porque espera un movimiento de seno o coseno.

por lo tanto, el signo menos es correcto.

sigue esta regla obtienes estas ecuaciones de movimiento

$$m\,\ddot x_1=-k_0\,x_1-k\,(x_1-x_2)$$ $$m\,\ddot x_2=-k_0\,x_2+k\,(x_1-x_2)$$

Sugiero ceñirse a la convención y hacer el diagrama de cuerpo libre con desplazamientos positivos hacia la derecha.

De hecho, dibujé lo anterior con$x_2 > x_1$para ayudar con la determinación de la dirección de la fuerza del resorte medio.

De lo anterior tengo

$$\begin{aligned} F_1 & = k_0 (x_1) \\ F_2 & = k (x_2-x_1) \\ F_3 & = k_0 (x_2) \end{aligned}$$

y las ecuaciones de movimiento

$$\begin{aligned} F_2 - F_1 & = m_1 \ddot{x}_1 \\ -F_2 - F_3 & = m_2 \ddot{x}_2 \end{aligned}$$

Combinado lo anterior produce

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_1 \end{bmatrix} \pmatrix{\ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 } = -\begin{bmatrix} k+k_0 & -k \\ -k & k+k_0 \end{bmatrix} \pmatrix{x_1 \\ x_2}$$

Ahora puedes ir y voltear el letrero de$x_1$ y de$\ddot{x}_1$si quieres.