Similitud entre la fuerza de Coulomb y la fuerza gravitacional de Newton

Es una buena observación que los campos eléctrico y gravitacional satisfacen la ecuación de Poisson

Sin embargo , usando la relatividad general, y específicamente las ecuaciones de campo de Einstein, uno puede mostrar en ciertas situaciones (donde la gravedad es débil y el espacio-tiempo es razonablemente plano), que la gravedad de hecho se comporta como la electrodinámica. De hecho, existen campos llamados gravitoeléctricos y gravitomagnéticos que obedecen a ecuaciones análogas a las ecuaciones de Maxwell. El resultado es lo que se llama acertadamente gravitoelectromagnetismo (GEM).

Este https://arxiv.org/abs/gr-qc/0311030 parece un buen resumen.

Para agregar a las otras respuestas, generalmente no puede representar la gravedad con ecuaciones al estilo de Maxwell por dos razones muy fundamentales: (1) las ecuaciones de campo de la gravedad no son lineales y (2) el campo gravitatorio se acopla a un tensor de rango 2 .

Las ecuaciones de Maxwell son lineales, lo que significa que se aplica el principio de superposición y el campo no interactúa consigo mismo. Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein no es lineal, por lo que el principio de superposición no se aplica y el campo interactuará por sí mismo.

El campo electromagnético se acopla a la densidad de carga y la densidad de corriente, que se puede escribir como un cuatro vector invariante de Lorentz (un tensor de rango 1). El campo métrico (gravitacional) se acopla al tensor de energía de tensión, que es un tensor de rango 2 invariante de Lorentz. Esta es la razón por la cual los fotones tienen spin-1, mientras que los gravitones teóricos tienen spin-2. Dado que las ecuaciones del campo gravitomagnético al estilo de Maxwell implican solo cuatro componentes del tensor de tensión-energía (masa-densidad y masa-corriente), no es posible que sean invariantes de Lorentz. Por lo tanto, un simple cambio en el marco de referencia conducirá a predicciones que contradicen el experimento.

En un marco de referencia inercial en reposo a una carga, solo se ve un campo de Coulomb. Cuando se transforma en otro marco de referencia inercial en movimiento relativo a la carga, se obtiene un campo magnético. La fórmula de transformación detallada se puede ver en esta página wiki .

Ahora la pregunta es, ¿podemos hacer lo mismo con la gravedad (supongamos que estamos solo en el régimen de la relatividad especial y pretendemos que la relatividad general no existe)?

La respuesta es "no" debido a una diferencia esencial entre carga y masa: la carga es una invariante de la transformación de Lorentz, lo que significa que diferentes marcos de referencia inerciales ven la misma cantidad de carga, mientras que la masa no. No sabemos (¿o sí?) cómo debería ser la parte de "Coulombio" de la fuerza gravitatoria cuando la masa se mueve. ¿Deberíamos usar la masa en reposo, o la "masa inflada" ($m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$)? ¿Y qué distancia debemos poner en la ley de Coulomb? ¿El retardado o el instantáneo? Incluso si tratamos de imitar en todos los aspectos de la fuerza de Coulomb, es decir, usamos$m_0$y la distancia retrasada, y llegar a un conjunto de reglas de transformación para la fuerza gravitatoria "similar a la electromagnética", la teoría no es autoconsistente , simplemente porque la densidad de masa y el flujo de masa juntos no forman un cuatro vector relativista, mientras que la densidad de carga y el flujo de carga lo hacen. Hablando intuitivamente , la diferencia es que la energía puede crear masa en reposo , mientras que nada puede crear una carga neta .

Actualización : acabo de notar que mi argumento de que (densidad de masa, flujo de masa) no forma un vector de cuatro mientras que (densidad de carga, flujo de carga) sí es equivalente a la respuesta de joshphysics que la ecuación de Maxwell que involucra$\mathrm{J}$no existe para la gravedad.

Uno puede obtener algo similar al electromagnetismo en el marco de la relatividad general (como se señala en los comentarios), pero para mí esa es otra historia...

Supongo (pero no estoy seguro porque no sé qué le pasó realmente a Einstein durante 1905-$\sim$1915; corríjame si me equivoco) lo que hablé anteriormente podría ser una de las razones por las que Einstein abandonó ese enfoque "aparente" para acomodar la gravedad en el marco de la relatividad especial, y elegir la "geometrización" mucho más indirecta, no trivial y revolucionaria. " enfoque, a saber, la teoría de la relatividad general.

La noción fundamental, al menos clásicamente, es que las fuerzas están representadas por la curvatura. La de la gravedad por la curvatura del espacio-tiempo y la de las demás fuerzas por la curvatura de un espacio interior.

Esta idea se explota en geometría no conmutativa para escribir todo el modelo estándar, con aproximadamente cien términos, como la acción espectral de Einstein-Riemann del espacio-tiempo multiplicada por un pequeño espacio no conmutativo cuya dimensión clásica es cero pero cuya dimensión no clásica es 6. Esto es notable porque la teoría de cuerdas compacta sobre espacios 6d. Este es el sueño de Einstein de una teoría clásica unificada, así como el de Clifford, quien especuló cincuenta años antes que Einstein que todas las fuerzas de la naturaleza podrían estar representadas por el flujo y reflujo de la curvatura del espacio.

Dado que las ecuaciones de Maxwell surgen de la curvatura de un espacio interno, uno podría suponer que podemos escribir el campo gravitatorio de manera similar. Esto es correcto y lo hizo por primera vez Heaviside mientras desarrollaba el análisis vectorial. En su artículo de 1893, publicado en The Electrician , y titulado A Gravitational and Electromagnetic Analogy , dice:

Ahora, teniendo en cuenta la manera exitosa en que la localización de Maxwell de la energía eléctrica y magnética en su éter se presta al razonamiento teórico, la sugerencia es muy natural de que deberíamos intentar localizar la energía gravitatoria de una manera similar, su densidad depende del cuadrado de la intensidad de la fuerza, especialmente porque la ley de los cuadrados inversos está involucrada en todo .

Continúa escribiendo la gravedad en una forma similar a Maxwell que Behera & Barik llaman gravedad de Heaviside. De hecho, el mismo Maxwell hizo un intento fallido en sus documentos que expusieron sus ecuaciones.

Alternativamente, Hehl & Obukhov han derivado las ecuaciones espaciales de Maxwell a partir de la conservación de la carga eléctrica y el flujo magnético. Esto, en cierto sentido, es un ejercicio formal que surge de dos tipos de leyes de conservación. Ahora, podemos reemplazar la carga eléctrica y la corriente con masa y corriente de masa para obtener las ecuaciones no homogéneas de la gravedad de Heaviside. Pero, ¿qué pasa con las ecuaciones homogéneas? Esto requiere un análogo magnético de la gravedad. Esto viene dado por una cierta doble contracción del tensor de Riemann.

Hablando filosóficamente, todo orden físico en el universo es un aspecto de un orden unitario en la naturaleza. Spinoza, por ejemplo, simplemente significó esto por su noción de extensión. Así que no sorprende que hayamos encontrado una ley unificada, era de esperar.