Ley de Coulomb en presencia de un fuerte campo gravitatorio

¡Por supuesto que hay que adaptar la ley de Coulomb! Y, por lo tanto, es una suerte que existan formulaciones de electromagnetismo manifiestamente covariantes a las que no les importa cómo se curva el espacio-tiempo. Sin embargo, primero debemos observar brevemente que la ley de Coulomb no es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo, aunque ha jugado un papel importante en sus inicios:

La ley de Coulomb es simplemente la solución de las ecuaciones de Maxwell para una carga puntual y sin corriente en el espacio plano de Minkowski. Las ecuaciones de Maxwell se pueden generalizar conjuntamente a espaciotiempos arbitrarios:

La intensidad del campo eléctrico es de 2 formas.$F = \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu$en el espacio-tiempo, y la corriente eléctrica es una forma 3$J = \frac{1}{6}J_{\mu\nu\rho}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu \wedge \mathrm{d}x^\rho$, como el dual de Hodge de la corriente vectorial habitual. Las ecuaciones de Maxwell ahora simplemente se leen

donde, dado que la estrella de Hodge depende de la métrica, la curvatura del espacio-tiempo influye en la forma de nuestras leyes.

Cabe señalar que, en espaciotiempos arbitrarios, la noción de tener "leyes separadas" para los campos eléctricos y magnéticos ya no tiene sentido, ya que se mezclan de formas (casi) arbitrarias, según la métrica. Todavía puede obtener los campos eléctricos y magnéticos como componentes.$F^{0i}$y$F^{ij}$de la intensidad del campo, pero no escribirá ninguna ley agradable e independiente del marco para ellos. Las ecuaciones de Maxwell no se disuelven bien en la "ley de Gauss", la "ley de Faraday" o cosas por el estilo en un entorno general.

Sí. Estrictamente hablando, no se puede aplicar la ley de Coulomb, o en general cualquier ley sobre la caída de algo con la distancia, en un espacio curvo.

En su lugar, debe cambiar a un formalismo basado en campos. Puede calcular la forma en que el campo electromagnético se propaga a través de un fondo curvo; básicamente, toma las ecuaciones de Maxwell en forma de tensor y reemplaza las derivadas ordinarias con derivadas covariantes con la métrica del espacio-tiempo (para detalles sangrientos, consulte Wikipedia ). Eso puede resultar en que la caída efectiva sea más débil o más fuerte que$1/r^2$dependiendo de las condiciones específicas, ya que las líneas de campo EM se distorsionarán por la curvatura.

No hay necesidad de invocar la curvatura del espacio-tiempo aquí para obtener algunos resultados no triviales de primer orden, al menos en un campo gravitatorio débil, como el de la Tierra.

Debido al principio de equivalencia, el campo gravitatorio homogéneo es indistinguible del marco acelerado. Por lo tanto, un observador en caída libre, por ejemplo, en el campo gravitatorio de la Tierra, observará que la carga estacionaria tiene el mismo campo electromagnético que una carga uniformemente acelerada fuera del campo gravitatorio.

Para ver lo que verá el observador estacionario, uno solo tiene que hacer que las coordenadas se transformen del marco de referencia de caída libre al marco estacionario.

La ley 1/r ² se cumple perfectamente siempre que esté dispuesto a reconsiderar exactamente qué significa 'r'. 1/r ² tiene que ser válido por las mismas razones por las que la masa de un agujero negro no cambia sin importar lo lejos que estés de él. Es una cosa de conservación.

Básicamente, la coordenada radial se define midiendo el área de superficie de una esfera alrededor de la masa (o carga puntual o agujero negro cargado...) y luego r se define como AreaOfSphere/sqrt(4pi).

Aquí está la diferencia: para caminar de r = 2 km a r = 1 km, ¡en general caminará más de 1 km! El resultado de esto es el dibujo canónico de un agujero negro como un cuerno.

Referencia:

...en general, la coordenada radial de Schwarzschild 
no representa con precisión las distancias radiales... 
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_coordinates

Esa sección en la página de wikipedia tiene más detalles.

Si las cosas no son simétricas como en la pregunta, entonces uno tiene que ajustar la deformación. Sin embargo, es el mismo concepto que para un agujero negro cargado: la ley de Coloumb funciona perfectamente, ya que tiene que conservar la carga.