Simetrías en QM y QFT --- leyes de transformación de operadores

En mecánica cuántica, implementamos transformaciones por operadores.$U$que mapean el estado$|\psi\rangle$al Estado$U|\psi\rangle$. Alternativamente, podríamos transferir la acción de$U$a nuestros operadores:

$$O\mapsto U^\dagger OU$$ Estos operadores $U$debe constituir una representación del grupo de transformación de interés. La pregunta que nos hacemos entonces es: ¿qué representación elegiremos? He aprendido que fijamos las matrices $U$que deseamos al pedir que el operador de posición, o el estado propio de posición, se transforme de la forma geométrica apropiada: si $R$es alguna matriz de rotación en 3D, entonces deseamos que $$U(R)^\dagger \vec{x} U(R) = R\vec{x}$$

Tengo varias preguntas con respecto a este procedimiento:

1) A menudo se argumenta que$U$es unitario ya que 'las probabilidades deben ser conservadas'. Pero está claro a partir de mis estudios que los operadores que representan impulsos de Lorentz no son unitarios. ¿Cómo se concilian estos dos hechos?

2) En una nota relacionada, decimos que una transformación es una simetría del sistema si el hamiltoniano se conserva bajo la transformación. Esto tiene sentido para mí porque es el hamiltoniano el que define el sistema; si el hamiltoniano no cambia, entonces las viejas soluciones de la ecuación de Schrödinger siguen siendo soluciones. Sin embargo, está claro que cualquier operador de transformación que implemente un impulso galileano (en QM no relativista) o un impulso de Lorentz (en QFT relativista) no va a dejar el hamiltoniano sin cambios. Sin embargo, eso no significa que los impulsos no sean simetrías de nuestro sistema. ¿Que está pasando aqui? ¿Por qué exactamente es$U^\dagger H U = H$la condición para$U$ser una 'simetría'?

3) Exigir a los operadores$U$satisfacer la propiedad (eligiendo la traducción para la concreción)

$$U^\dagger \vec{x} U = \vec{x} + \vec{a}$$ no nos dice inmediatamente cómo afectará la transformación a otros operadores, como los operadores de momento o de momento angular. Para el caso de una traducción por $a$, encontramos eso $$U = \exp\left( -i\frac{\vec{a}\cdot\vec{p}}{\hbar}\right)$$ satisface la ecuación anterior (funciona infinitesimalmente). Entonces esto nos dice que $U^\dagger \vec{p} U = \vec{p}$. Esto es lo que queremos --- las traslaciones en el espacio no afectan el impulso. Pero no le hemos dicho a nuestros operadores $U$que deberían satisfacer esta propiedad, por lo que el hecho de que lo hagan parece algo así como una coincidencia. Es decir, requiriendo solo que conjugar el operador de posición con $U(R)$rota parece forzar a cada operador de vector a rotar bajo la conjugación con $U(R)$. ¿Hay algo fundamental detrás de esto?

4) En QFT, deseamos implementar impulsos de Lorentz con operadores

$$S = \exp \left( -i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$$ dónde $\delta^\mu_\nu + \omega^\mu{}_\nu$es la transformación infinitesimal de Lorentz que estamos representando. Ahora para $T$representando una transformación de Lorentz diferente, no necesariamente infinitesimal $\Lambda$, tenemos $$T^{-1} S T = T^{-1} \left(1 - i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar} \right) T$$ Pero la condición de que las matrices $S$y $T$debe constituir una representación del grupo de Lorentz implica que la combinación del lado izquierdo debe ser igual $$\exp \left( -i\frac{\Omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$$ dónde $\Omega_{\mu \nu}$define la transformación compuesta: $$\delta^\mu_\nu + \Omega^\mu{}_\nu \equiv (\Lambda^{-1})^\mu{}_\rho(\delta^\rho_\sigma + \omega^\rho{}_\sigma)\Lambda^\sigma{}_\nu$$ Comparando estas ecuaciones se obtiene $$T^{-1} M^{\mu \nu} T = \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma M^{\nu \sigma}$$ usando las propiedades de subida y bajada de la métrica de Minkowski. Mi pregunta es similar a la de 3) --- el objeto $M^{\mu \nu}$es solo una colección de 6 operadores, y no es del todo obvio que esos índices deban ser índices de tensor. Y, sin embargo, de alguna manera --- simplemente preguntando por las matrices $S$para constituir una representación --- hemos logrado reproducir la ley de transformación del tensor (es cierto que tenemos una $T^{-1}$aquí en lugar de un $T^\dagger$--- esto se relaciona con mi primera pregunta). En otras palabras, tenemos la acción geométrica correcta de la transformación de Lorentz en los operadores $M^{\mu \nu}$, aunque nunca lo pedimos!

Como puedes ver, estoy muy confundido por toda la situación. Me disculpo si la discusión anterior suena un poco confusa, ¡y agradecería cualquier ayuda que se me pueda brindar!