Análisis general de simetrías internas en QFT

Estoy tratando de entender todo lo que puedo sobre las simetrías internas en QFT, sin usar un lagrangiano o el formalismo canónico (ni la teoría de la perturbación), pero me está costando encontrar buenas referencias.

Por ejemplo, si consideramos una teoría libre con un tu ( 1 ) simetría, es fácil construir el operador numérico y mostrar que sus valores propios son números enteros.

  • Cuando agregamos interacciones, ¿sigue siendo cierto? Es claramente cierto para los estados asintóticos, pero ¿qué pasa con los estados ligados? ¿Estos también deben tener carga entera?

Como ejemplo de lo que tengo en mente: se puede usar el álgebra de los operadores de momento angular [ j i , j j ] = i ϵ i j k j k para demostrar que los valores propios de j i son discretos:

  • ¿Es posible hacer lo mismo con, digamos, el operador de carga? En otras palabras, ¿es posible usar el álgebra de simetrías internas para demostrar que los números cuánticos internos deben ser discretos?
Mi publicación fue editada y las preguntas se dividieron en seis elementos diferentes. No estoy de acuerdo con la edición: parecía que estaba haciendo seis preguntas diferentes cuando, de hecho, solo estoy haciendo una. Reedité la publicación; Espero que la gente esté bien con eso.
@ user81003 gracias :-) Lo leeré

Respuestas (1)

No estoy seguro de haber entendido bien tu pregunta. Sin embargo, se puede decir algo general con respecto al espectro, solo mirando el grupo abstracto. Si representas un grupo de Lie compacto como S tu ( norte ) o S O ( norte ) mediante una representación unitaria fuertemente continua, se tiene la seguridad de que el espectro de cada generador y de los operadores de Casimir es discreto, salvo raras situaciones que describo a continuación, como consecuencia del célebre teorema de Peter- Weyl .

Este resultado establece que, bajo las hipótesis anteriores, la representación es la suma ortogonal directa (y no una integral directa como ocurre en el caso general) de la representación unitaria irreducible de dimensión finita .

En cada subespacio invariante de dimensión finita de cada representación irreducible, todo se reduce a una representación matricial y, por lo tanto, el espectro de cada generador autoadjunto (que es una matriz hermitiana) es un conjunto de puntos finito y discreto y cada vector propio es un vector propio propio.

Sumando todas las subrepresentaciones irreducibles de la representación inicial, cada generador es la suma de todos los generadores correspondientes de las subrepresentaciones. (Hay algunos detalles matemáticos sobre los dominios utilizados y la topología utilizada en la suma, pero son bastante irrelevantes aquí).

Los operadores Casimir son la suma de los operadores Casimir correspondientes (constantes) en cada subrepresentación irreducible. El espectro es el cierre de la unión de los espectros . Los posibles puntos añadidos a la unión simple de puntos discretos son los únicos puntos posibles del espectro continuo de la representación global y son sólo los puntos de acumulación (si los hay) de dicha unión.

Sí, siento que entendiste la pregunta: esto es precisamente lo que quería saber. Sin duda, podemos decir que un punto clave es que el grupo sea compacto, ¿no? (el Grupo Poincaré, al ser no compacto tiene un Casimir con espectros continuos, ¿no?). Una última pregunta, si no le importa: ¿es cierto en general que para, digamos, un tu ( 1 ) simetría las cargas vienen en pares positivos/negativos? (es decir, si q es un valor propio, también lo es − q ). Creo que esto es cierto si tenemos un operador de conjugación de carga, pero esto se basa en "transformaciones de grandes grupos", y no solo aquellas conectadas a 1. ¿Es cierto de todos modos?
Sí, la compacidad es el punto crucial. El grupo Poincaré tiene un operador Casimir con espectro continuo. Con respecto a tu última pregunta, para tener un par de partículas con cargas opuestas también necesitas la simetría de conjugación de carga en el conjunto de las simetrías de tu sistema.
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