Confusión sobre dos definiciones de anomalías

Como actualmente estoy estudiando para un examen sobre teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas, me confundí acerca de la noción de "anomalías" y cómo se definen realmente. Ya se han hecho preguntas similares aquí y aquí , pero las respuestas dadas realmente no me satisficieron.

Así que supongamos que tenemos alguna simetría clásica, es decir, una simetría de la acción. Las dos definiciones que sigo viendo son esas:

  1. (generalmente en textos sobre teoría de cuerdas) Una simetría es anómala si no se puede representar unitariamente en el espacio de Hilbert (para cualquier regularización). De manera equivalente (?), si no podemos encontrar una receta de ordenación tal que los generadores de simetría obedezcan el álgebra correcta después de la cuantificación y sigan siendo unitarios y de energía positiva.
    Tenga en cuenta que si la simetría sigue siendo una simetría de rayo en el espacio de Hilbert (¿siempre es así?), todavía podemos encontrar una representación proyectiva. Si la representación es genuinamente proyectiva, hay dos opciones (como se describe, por ejemplo, en Weinberg): O bien, si el grupo de simetría no está simplemente conectado, es posible que tengamos que usar un grupo de cobertura en su lugar. O, si el álgebra no es semisimple, puede haber cargas centrales que no se pueden hacer desaparecer.
    Aquí siempre se supone que la medida sigue siendo invariable y que se mantienen las identidades de Ward. En realidad, en la teoría de cuerdas, las identidades de Ward se utilizan a menudo para derivar ciertos OPE y, con ellos, derivar el álgebra cuántica de Virasoro.

    Ejemplos de esto son:

    • El álgebra de Witt en la teoría de cuerdas, que obtiene una extensión central cuando se cuantifica y se convierte en el álgebra de Virasoro.
    • SO(3) actuando sobre un espín no entero. SO(3) no es simplemente conexo y tenemos que considerar representaciones de la doble cubierta SU(2).
    • El álgebra del grupo de Galilei que actúa sobre estados no relativistas de 1 partícula tiene una carga central en la relación [ k i , PAGS j ] = − i d i j metro .
  2. (usualmente en textos QFT) La simetría es anómala si no podemos encontrar un procedimiento de regularización para la medida integral de trayectoria D Φ tal que D Φ = D Φ ′ .
    Entonces es claro que las identidades Ward-Takahashi serán violadas: La ecuación ⟨ ∇ m j m ⟩ = 0 (lejos de las inserciones) recoge nuevos términos en el lado derecho. El álgebra de los generadores de simetría aparentemente no cambia necesariamente.
    Un ejemplo de esto es la anomalía de la simetría quiral (global) en QED. Por cierto, aquí solo tenemos un generador de simetría, por lo que de todos modos no podemos obtener una extensión central no trivial del álgebra.

En realidad, en este momento me parece que esos dos son cosas completamente diferentes. En la versión 1 tenemos la medida invariable y las identidades de Ward, que están ausentes en la versión 2. Por otro lado, en la 2 no tenemos cargos centrales u otras modificaciones algebraicas (a diferencia de la versión 1).

Aún así, parece que debería haber algún tipo de conexión entre los dos. Pero tal vez esto sea solo porque se llaman igual. Entonces mi pregunta es: ¿Están relacionadas esas nociones? ¿Quizás incluso la misma cosa desde diferentes puntos de vista? (Por ejemplo, podría imaginar que desde el punto de vista de la cuantificación canónica, obtenemos la anomalía en el álgebra de operadores, mientras que desde el punto de vista de la cuantificación integral de trayectoria, obtenemos la anomalía en la medida PI).

Respuestas (1)

De hecho, las dos nociones están relacionadas. Tomemos, por ejemplo, la anomalía de Weyl de la teoría de cuerdas bosónicas: la acción clásica (Polyakov) S es invariable bajo las reescalas de Weyl de la métrica de la hoja mundial γ a b , es decir

S [ γ a b ( τ , σ ) ] = S [ Exp ⁡ ( 2 ω ( τ , σ ) ) γ a b ( τ , σ ) ] = S [ γ a b ′ ( τ , σ ) ] .
Dado que se trata de una simetría conforme, la traza del tensor de energía-momento tiene que desaparecer: T a a = 0 . Cuantificar la teoría sin especificar el número de dimensiones del espacio-tiempo dará como resultado una anomalía; La invariancia de Weyl ya no es una simetría de la teoría cuántica de cuerdas. El tensor de energía de tensión adquirirá una traza proporcional al escalar de Ricci R correspondiente a la geometría de hoja mundial, es decir T a a = − C 12 R , dónde C es la carga central. Este último es igual a cero sólo en el caso de D = 26 , por lo que la anomalía no aparece en la llamada dimensión crítica. (Tenga en cuenta que también desaparece cuando la geometría de la hoja mundial es plana). La existencia de la carga central induce un álgebra de Virasoro para los modos del tensor de tensión-energía, que es consistente con lo que escribe.

Los argumentos anteriores se pueden realizar sin hacer referencia a la integral de trayectoria y su medida; este es el punto de vista del álgebra de simetría. Sin embargo, se puede adoptar una diferente y preguntar qué sucede con la integral de trayectoria. Resulta que bajo una transformación de Weyl, la variación de la medida y el resto de la integral consiste en inserciones de la traza del tensor de energía-momento, y solo se desvanecerá si no hay una anomalía conforme. Por lo tanto, las dos imágenes son equivalentes.

¡Gracias por tu respuesta! ¿Crees que hay una manera de mostrar la equivalencia de las dos imágenes en general (no solo para la anomalía de Weyl)? Mi compañero de trabajo me dijo hace unos días que se puede hacer con las condiciones de consistencia de Wess-Zumino, pero aún no he tenido tiempo de investigar eso.
Si entiendo bien, las cargas centrales producen fases en las composiciones de transformación e imponen reglas de selección. Las violaciones de estas reglas de selección dañan la simetría, y esto se traduce al formalismo de la integral de trayectoria como no invariancia de la medida debido a un término adicional sobre la acción que exige un regulador que viola la simetría. Es decir, ¿las cargas centrales son amenazas de posibles anomalías?
Confusión sobre dos definiciones de anomalías
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v