Simetría de inversión de tiempo del modelo de Ising de campo transversal

Básicamente, la respuesta es sí:$H$es TRI porque es real. La condición de realidad significa realmente que el hamiltoniano obedece a una cierta simetría antiunitaria. En este caso, la operación de inversión del tiempo es simplemente$T=K$dónde$K$es la conjugación compleja. no es el de siempre($T=K\prod_i i\sigma^y_i$), y en particular$T^2=1$, por lo que no existe el teorema de Kramers y el espectro no es doblemente degenerado. El hecho de que las estadísticas de nivel sigan al GOE, por supuesto, es una consecuencia de la condición de realidad. De hecho, creo que si hubiera un$T^2=-1$simetría de inversión de tiempo, las estadísticas seguirían un conjunto diferente (el simpléctico, creo).

Usted preguntó qué pasa si uno cambia el campo transversal$g\sum_i \sigma^x_i$hacia$y$dirección. En ese caso, los dos hamiltonianos están unitariamente relacionados (es decir, un$\pi/2$rotación de giro$U_z$alrededor$z$lo devolvería). Déjame llamar al hamiltoniano con$x$campo transversal$H_x(g)$dónde$g$es el campo transversal, y con$y$campo transversal$H_y(g)$. Definir$U_z=e^{i\pi \sum_i\sigma^z_i/4}$, entonces es fácil comprobar que$U_z H_y(g) U_z^{-1}= H_x(g)$. ya que sabemos$H_x^*(g)=H_x(g)$, podemos encontrar fácilmente$H_y^*=U_z^2 H_y U_z^{-2}$. Por lo tanto, uno solo tiene que redefinir la simetría de inversión de tiempo para que sea$T=K U_z^2$. Si realmente desea romper la condición de realidad, de una manera que no se pueda solucionar mediante transformaciones unitarias adicionales, entonces es necesario activar los campos transversales a lo largo de las tres dimensiones.

Último comentario sobre sus "Argumentos a favor del sí": el primer argumento que dio, a saber, uno también cambia los parámetros externos, no funciona. De esta manera, no habría ruptura de simetría de inversión de tiempo, ¡excepto la violación de CP en los procesos fundamentales! Cuando hablamos de la simetría de un hamiltoniano, deberíamos tratar el sistema por sí solo, no con todos los dispositivos externos que generan los diversos términos, a menos que desee considerar la dinámica de estos dispositivos, pero entonces es diferente. hamiltoniano.

Yo diría que hay dos operadores antiunitarios diferentes que se denominan comúnmente "operador de inversión de tiempo", y debe especificar a cuál se refiere. Bajo una definición ($T = K \prod_i i\, \sigma_i^y$), las tres matrices de Pauli cambian de signo bajo$T$. Esta definición es más "física" porque el giro es extraño en la inversión del tiempo. (Por ejemplo, si modela el giro semiclásico como un pequeño bucle de corriente eléctrica, entonces la inversión del tiempo invierte la dirección de la corriente y, por lo tanto, cambia la dirección del momento dipolar magnético). Bajo esta definición, el TQIM no es$T$-simétrico porque el término del campo cambia de signo.

la segunda definicion$(T = K)$es un poco menos físico y más complicado conceptualmente, porque el operador complejo de conjugación$K$es dependiente de la base, por lo que$T = K$sólo se define en una base particular (aunque resulta que el operador resultante es antiunitario en cualquier base). Bajo esta definición,$\sigma^y$cambia el signo debajo$T$pero$\sigma^x$y$\sigma^z$no lo hacen, por lo que la operación consiste en una reflexión a través de la$x-z$plano en el espacio de espín. Ahora decimos que un hamiltoniano es$T$-simétrico si existe una base en el espacio de espín tal que sea simétrica bajo este operador. (O, como señaló @MengChen, puede construir el unitario$U$que gira el eje de giro apropiado en la definición de$T$.) Según esta definición, un estado magnético invariante en el tiempo corresponde a uno que tiene un orden coplanar en el espacio de espín (en el$x-z$plano en la base apropiada). Los estados con esta propiedad son más fáciles de modelar numéricamente, porque la función de onda es puramente real (en la base correcta) y, por lo tanto, la operación aritmética se puede realizar el doble de rápido. Bajo esta definición, el QTIM es$T$-simétrico, porque todos los términos en el hamiltoniano se encuentran en el$x-z$plano en el espacio de espín.

En cualquier caso, como señaló @MengChen, no cambia el signo de$h$, porque la generación de corriente$h$se supone que se encuentra fuera del sistema y el operador de inversión de tiempo no actúa sobre él. Si tuviera que incorporar la fuente del campo magnético en su hamiltoniano, entonces$T$-se restauraría la simetría, pero por supuesto eso sería un problema mucho más complicado. Si tuviera que definir la inversión de tiempo para voltear todos los campos externos, entonces prácticamente cualquier sistema sería$T$-simétrico (con la excepción de algunos procesos exóticos que involucran la fuerza nuclear débil), por lo que el concepto no sería útil.