¿Se prefieren las órbitas de halo grande alrededor de L₁ y L₂ a las órbitas pequeñas por razones distintas a la geometría?

Hay varias razones por las que las naves espaciales se envían a pseudoórbitas (en realidad no son "órbitas") sobre los puntos de Lagrange inestables. La razón menos importante es que solo una nave espacial puede estar en uno de esos puntos de Lagrange. Las pseudoórbitas anchas permiten que múltiples naves espaciales operen simultáneamente en las cercanías de uno de esos puntos de Lagrange.

Más importante aún, esos puntos de Lagrange son un poco una ficción, en un sentido de vaca esférica. Los puntos de Lagrange son estacionarios solo en el contexto de un cuerpo en una órbita circular alrededor de otro cuerpo más masivo. Agrega órbitas elípticas y los puntos se mueven. Agregue perturbaciones de otros cuerpos como la Luna en el caso de los puntos de Lagrange Sol-Tierra, el Sol en el caso de los puntos de Lagrange Tierra-Luna, más Júpiter, Venus y los otros planetas, y la ubicación exacta del Los puntos de Lagrange se vuelven un poco borrosos.

Finalmente, supongamos que alguna organización quisiera tener una nave espacial exactamente en uno de esos puntos borrosos. Eso no es posible, por varias razones. La unidad de medida inercial de la nave espacial no puede sentir que está en un punto de Lagrange. En su lugar, tendría que ser calculado. Esta posición calculada (el estado de guía) será inherentemente errónea. Para empeorar las cosas, donde la nave espacial cree que está (el estado navegado) también será inherentemente un error. Para empeorar aún más las cosas, los sistemas de propulsión y control también son imperfectos.

Lo mejor que se podría hacer sería mantener la nave espacial dentro de un volumen de control que rodea el punto. El algoritmo de control implicaría necesariamente bandas muertas, regiones donde los propulsores no disparan, por un par de razones. Una es la naturaleza de los propulsores de esos vehículos, que están encendidos o apagados (no se pueden regular). Esto sugiere usar lo que se llama control bang-bang. Más importante aún, las cámaras u otros instrumentos normalmente no se pueden usar durante los disparos de los propulsores. El control bang-bang es óptimo tanto desde una teoría de control como desde una perspectiva operativa.

Si el volumen de control es demasiado pequeño, resultará inviable. (No se puede hacer.) Un pequeño volumen de control factible dará como resultado un sistema que involucra encendidos frecuentes de propulsores que consumen grandes cantidades de combustible y que hacen que la parte científica de la misión no tenga valor. Lo que se necesita es un volumen de control algo mayor.

Sin embargo, esto pierde el objetivo de estar cerca del punto de Lagrange. Este enfoque tampoco aprovecha la mecánica orbital. Una nave espacial en una pseudoórbita sobre uno de esos puntos de Lagrange aprovecha explícitamente la mecánica orbital. Si bien estas pseudoórbitas no son estables, los requisitos de mantenimiento de la posición para ellas se reducen enormemente en comparación con los de un enfoque de volumen de control de tamaño comparable.

Esta es una respuesta complementaria porque todavía involucra geometría, aunque en realidad es geometría futura.

tl; dr: ¡ Definitivamente se prefieren las órbitas de halo grandes a las órbitas de halo pequeñas porque las pequeñas no son órbitas de halo! Serán órbitas de Lissajous entrecruzadas y tarde o temprano terminarán a lo largo del eje entre los dos cuerpos (razones de geometría) aunque originalmente despejen esa área.

El artículo El satélite del lado lejano lunar Chang'e-4 llamado 'puente de la urraca' del cuento popular de los amantes que cruzan la Vía Láctea sobre Queqiao, que será (entre otras cosas) el satélite de retransmisión de Chang'e-4, se encontró en esta interesante respuesta . Ambos señalan que Queqiao estará en una órbita de halo alrededor del punto L2 de la Tierra-Luna para que tenga una línea de visión tanto del lado lejano de la Luna como de la Tierra en todo momento.

Esto me llevó a volver a revisar el tomo de cien páginas de Robert W. Farquhar The Utilization of Halo Orbits in Advanced Lunar Operations , NASA Tech. Nota D-6365.

En el apartado II.B.2.b, señala:

Por cada valor de$A_y$> 32.871 km, hay un valor correspondiente de$A_z$eso producirá una trayectoria nominal donde los períodos fundamentales de las oscilaciones del eje y y del eje z sean iguales. En este caso, la trayectoria nominal vista desde la Tierra nunca pasará por detrás de la Luna. La relación exacta entre$A_y$, y$A_z$, para esta familia de trayectos nominales se muestra en la Figura 5.

En primer orden, el movimiento de un objeto cerca del punto de equilibrio L2 es periódico en el plano x, y de la órbita de la Luna , y también es periódico fuera del plano en la dirección z. Sin embargo, ¡el período xy y el período z no son necesariamente iguales! El nombre para el patrón creado por el movimiento armónico en dos ejes donde los períodos no están obligados a ser idénticos se denomina patrón de Lissajous , y del mismo modo estas órbitas se denominan órbitas de Lissajous. El problema es que, a diferencia de los períodos iguales que dan como resultado una "órbita de halo agradable", estos tarde o temprano se moverán tan cerca del eje Tierra-Luna que las comunicaciones con la Tierra se bloquearán.

Este es un problema bien conocido. Por ejemplo, tarde o temprano DSCOVR terminará pasando tan cerca de la línea de visión de la Tierra con el Sol que las comunicaciones se perderán durante semanas o más.

Por lo tanto, la razón por la que definitivamente se prefieren las órbitas de halo grande a las órbitas de halo pequeño es que ¡las órbitas de halo pequeño no son órbitas de halo! Si bien pueden clasificarse en la "categoría de halo", si no son lo suficientemente grandes, no podrán tener períodos iguales en el plano y fuera del plano, y en realidad serán solo órbitas de Lissajous con períodos desiguales. Mientras que si son lo suficientemente grandes, pueden construirse como órbitas de Lissajous con períodos iguales y, por lo tanto, son órbitas de halo adecuadas. Aunque esto no es un ajuste cuidadoso automático de la relación de amplitudes en el plano y fuera del plano (el "Para cada valor de$A_y$> 32.871 km, hay un valor correspondiente de$A_z$..." cita en bloque de Farquhar.

Un pensamiento es colisiones de tráfico. Una vez que coloca el primer satélite exactamente en el punto L en cuestión, ningún otro satélite puede ocupar esa posición. Y debido a que son puntos gravitacionalmente estables, cambiarlos nuevamente al final de su vida útil es relativamente costoso. Entonces, para ser buenos vecinos de las otras misiones en el vecindario, preferirás orbitar el punto L, lo que aumenta la cantidad de misiones que pueden realizarse simultáneamente.

La propiedad útil adicional de la órbita grande es evitar más fácilmente los eclipses:

Documento de Gaia "GAIA: DISEÑO DE TRAYECTORIA CON RESTRICCIONES DE AJUSTE" 2014 :

Debido a que el tamaño de la órbita de Lissajous se limita a menos de 15◦ pueden darse condiciones desfavorables con respecto a la luna, donde la luna está provocando un eclipse parcial durante un período prolongado de tiempo (hasta 42 horas). Si bien no es problemático con respecto a la generación de energía solar, es indeseable con respecto al balance térmico... esta situación ya no podría ocurrir debido al cambio de las condiciones de inserción, lo que resultó en condiciones más favorables con respecto a la trayectoria de la luna debido a la mayor amplitudes fuera del plano .

Evitación del eclipse terrestre: cualquier órbita de Lissajous de pequeña amplitud alrededor de SEL2 tendrá un eclipse siguiendo el movimiento natural . Al elegir las condiciones iniciales apropiadas, el tiempo hasta un eclipse generalmente se puede extender a 6,5 ​​años para órbitas con SSCE ∼ 15◦, si se seleccionan los ángulos de fase iniciales apropiados.

El documento JWST "ANÁLISIS COMERCIAL DE LA VENTANA DE LANZAMIENTO PARA EL TELESCOPIO ESPACIAL JAMES WEBB" de 2016 enumera algunas limitaciones en la órbita Sol-Tierra L2:

Table 1. JWST Launch Window Constraints.
Constraint. Value. Requirements/Constraint Driver(s)
LPO Box: Maximum RLP Y - 832,000 km - Communications
LPO Box: Maximum RLP Z - 520,000 km - Science (Stray light)
Maximum SCAT finite-burn duration - 11,425 sec - Propulsion 
Minimum precision of SCAT finite-burn duration - 0.2 sec - Propulsion 
MCC Available ΔV - 58.5 m/s - Mass & Propulsion
Mission Lifetime Goal - 10.5 years - Science
Lunar / Earth Eclipse - None allowed - Power and Thermal

Las restricciones LPO definen una caja centrada en el punto L2 con tres dimensiones en las direcciones RLP X, Y y Z... Las restricciones Y y Z se basan en requisitos de comunicaciones y luz parásita. El requisito de luz parásita protege los instrumentos JWST de la luz parásita solar, lunar y terrestre. Como se ve en la Fig. 3, los requisitos de LPO pueden cumplirse mediante una categoría general de LPO, que incluye toros, cuasi-halos y Lissajous.