Signo de impulso en el propagador de fermiones.

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Signo de impulso en el propagador de fermiones.

Física
fermiones
antimateria
propagador
convenciones
electrodinámica-cuántica

drglove

Pensando en un proceso como la dispersión de Compton, donde tenemos un electrón como propagador, normalmente escribiría el propagador como

i \frac{q̸ + metro}{q^{2} - {metro}^{2}} .

$i \frac{\not q+m}{q^2-m^2}.$ Si tuviera que reemplazar el electrón con un positrón, el propagador se convierte en:

i \frac{- q̸ + metro}{q^{2} - {metro}^{2}} ?

$i\frac{-\not q+m}{q^2-m^2}~?$

Una especie de pregunta tonta, pero me resulta difícil reducir la respuesta con las diferentes convenciones de signos que existen.

Respuestas (2)

Signo de impulso en el propagador de fermiones.

Haz · Answer 1

Como referencia, el propagador de fermiones es

⟨ 0 | T ψ (X) \bar{ψ} (y) | 0 ⟩ = S (X - y) = \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{i}{k̸ - metro} {mi}^{- i k \cdot (X - y)}

$\left\langle 0 \right| T\psi(x)\overline\psi(y) \left|0\right \rangle= S(x-y) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not k-m}e^{-ik\cdot(x-y)}$

Dependiendo del orden del tiempo, esto describe una partícula que se mueve de $y$ a $x$ , o una antipartícula que se mueve desde $x$ a $y$ .

Ahora, considere un diagrama de bucle único en el que un fotón externo se desintegra en una partícula y una antipartícula en el punto $y$ , que posteriormente se aniquilan para producir un fotón en $x$ . Sea el impulso que aparece en los propagadores $p$ para el fotón, $l$ para la partícula, y $k$ para la antipartícula.

Este diagrama tiene una integral sobre las posiciones de los vértices. $x,y$ ; el propagador de la partícula $S(x-y)$ , y el propagador de la antipartícula $S(y-x)$ ; y un exponente $e^{-ip\cdot(y-x)}$ procedente de la función de onda del fotón. Ignorando los factores de vértice y los vectores de polarización, este diagrama es

\int d^{4} X \int d^{4} y \int \frac{d^{4} yo}{(2 π)^{4}} \frac{i}{l̸ - metro} {mi}^{- i yo \cdot (X - y)} \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{i}{k̸ - metro} {mi}^{- i k \cdot (y - X)} {mi}^{- i pag \cdot (y - X)}

$\int d^4x \int d^4y \int \frac{d^4l}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not l-m}e^{-il\cdot(x-y)}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not k-m}e^{-ik\cdot(y-x)}e^{-ip\cdot(y-x)}$

Realizar las integrales de posición nos da dos funciones delta idénticas $\delta^4(l-k-p)$ , que nos dicen que establezcamos $k=l-p$ en el cálculo y suelte el $k$ integral, dejando

\int \frac{d^{4} yo}{(2 π)^{4}} \frac{i}{l̸ - metro} \frac{i}{(l̸ - pag) - metro}

$\int \frac{d^4l}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not l-m}\frac{i}{(\not l-\not p)-m}$

De hecho, dondequiera que haya un vértice, las líneas que van al punto $x$ contribuir un $e^{-ip_1\cdot x -...}$ , y las líneas que salen aportan un $e^{+ik_1\cdot x+...}$ , dándonos una función delta $\delta^4(p_1+...-k_1...)$ .

Las partículas entrantes tienen líneas que apuntan hacia el vértice, y las partículas salientes tienen líneas que apuntan hacia afuera del vértice, por lo que si una partícula $p_1$ se dispersa de un fotón entrante $p_2$ , entonces tenemos una función delta $\delta^4(p_1+p_2-k_1)$ , la relación habitual de conservación de la cantidad de movimiento que esperamos: $k_1=p_1+p_2$ .

Pero las antipartículas entrantes tienen líneas que apuntan hacia afuera del vértice, y las antipartículas salientes tienen líneas que apuntan hacia el vértice, por lo que siempre contribuyen menos su impulso. El mismo proceso que el anterior da una función delta $\delta^4(-p_1+p_2+k_1)$ , donación $-k_1=-p_1+p_2$ . Reescribamos esto,

\begin{aligned} q_{1} = - {pag}_{1}, q_{2} = - k_{1} \\ q_{2} = q_{1} + {pag}_{2} \end{aligned}

$\begin{align} &q_1=-p_1, \quad q_2=-k_1 \\& q_2=q_1+p_2 \end{align}$

Ahora se parece a la ecuación normal de conservación de la cantidad de movimiento, y podemos volver a relacionarla con la cantidad de movimiento del propagador con las relaciones anteriores.

Gracias por la respuesta detallada, pero ¿puede explicarme a qué se refiere cuando dice "el impulso físico que mediría para el positrón"? Creo que es probablemente un punto discutible, pero teniendo en cuenta que esto es un propagador, no estoy seguro de que tenga sentido hablar de medir su impulso.
@drglove tienes razón, la partícula virtual es solo parte de las matemáticas. He editado la publicación con una mejor explicación de lo que quise decir.
Dices que el propagador describe una partícula que va de y a x o una antipartícula que va de x a y. Pero, ¿y si quiero describir una antipartícula que va de y a x?
@Ihle Intercambio $x$ y $y$ de modo que $S(x-y)$ se convierte $S(y-x)$ . $x$ y $y$ son solo etiquetas para los vértices.

Nahc · Answer 2

Si q es la cantidad de movimiento del positrón, entonces el propagador sigue siendo $i\frac{\not{q}+m}{\not{q}^2 - m^2 + i \epsilon}$ .

Signo de impulso en el propagador de fermiones.

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