Significado del teorema de los ejes paralelos: ¿por qué el momento de inercia es mínimo si el eje pasa por el CM?

Hay algunas formas de justificarlo.

Primero, podría observar el movimiento del objeto a medida que gira. En 2D, resulta que todo ese movimiento se puede descomponer en movimiento del CM y rotación alrededor del CM. Por lo tanto, girar alrededor del propio CM es la única forma de garantizar que el CM no se mueva y, por lo tanto, es el menos costoso desde el punto de vista energético.

Otra forma es por cálculo directo. Supongamos que algún objeto 1D está hecho de masas puntuales en posiciones$x_i$con masas$m_i$. Entonces

$$I(x) = \sum m_i (x_i-x)^2$$ es el momento de inercia respecto a $x$. El mínimo se alcanza cuando la derivada es cero, entonces $$0 = 2 \sum m_i (x_i - x)$$ lo que implica que $$x = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}.$$ Esta es la definición del centro de masa.

Que el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el CM se minimice, con respecto a cualquier otro eje paralelo, es una consecuencia de la dependencia cuadrática (al cuadrado) del momento de inercia con la distancia. En otras palabras, el${r^2}$término en${I=mr^2}$hace que las masas a distancias más lejanas tengan un peso preferencial en su contribución al momento total. Como dijiste, para un objeto dado, el momento de inercia dependerá de la distribución (distancias) de masas alrededor del eje elegido.

Para un par dado, se puede impartir una mayor aceleración angular a objetos de menor momento. Esto se ve en la relación${\tau=I\alpha}$(análogo a$F=ma$), dónde$\alpha$es la aceleración angular. Reordenando, obtenemos$\alpha=\tau/I$, entonces$\alpha$es mayor cuando$I$es el más pequeño.

Intuitivamente, uno puede entender cómo se maximiza la aceleración angular alrededor del CM imaginando torcer una barra de metal. Imagínese sostener la varilla por su extremo y girarla, es difícil. Imagina sostener la misma barra en su centro y girarla; es un poco más fácil.

Para describir matemáticamente el escenario anterior, podemos considerar una barra unidimensional de masa$m$corriendo de${x=0}$a$x=l$. El momento de inercia con respecto a un eje que corre perpendicular a la barra en$x=0$(girando la varilla sobre su extremo) está dada por

$I_{end}=\int_{0}^{l}\rho x^2 dx = \frac{m}{3}l^2$, dónde$\rho=m/l$es la densidad de masa de la barra.

El momento alrededor de un eje que pasa por el centro de la barra,$x=l/2$, es

$I_{mid}=\int_{-l/2}^{l/2}\rho x^2 dx = \frac{m}{12}l^2$.

Tenga en cuenta que$I_{mid}<I_{end}$.

Tomando un enfoque más general, podríamos calcular el momento con respecto a cualquier eje perpendicular, colocado en cualquier valor x, como

$I_{x}=\int_{0-x}^{l-x}\rho x^2 dx = \frac{1}{3}\rho(l-x)^3-\frac{1}{3}\rho(0-x)^3$.

Esta función$I_{x}(x)$tiene un mínimo en el centro de masa cuando$x=l/2$.