¿La mayor inercia de rotación de un sistema?

Considere este escenario: Hay norte bolas diminutas (diminutas significa que podemos fijar varias bolas en un solo lugar) con masa metro 1 , metro 2 , . . . fijo en un palo del que podemos ignorar la masa del palo. Ahora giramos el sistema (palo y bolas) alrededor del centro de masa. Siento que la mayor inercia de rotación se logrará cuando la mitad de la masa de las bolas esté en un punto del palo mientras que la otra mitad esté en el punto opuesto del palo. ¿Pero no sé cómo demostrarlo matemáticamente?

¿Es siempre posible dividir norte diferentes masas en dos mitades?
¿Por qué molestarse en probarlo matemáticamente, si la intuición física es correcta? Después de todo, si tuviéramos que esperar a las matemáticas rigurosas, no tendríamos la mecánica clásica hasta tres siglos después de que se inventara el cálculo. La prueba viene en varios sabores tanto en física como en matemáticas.
@ Righter Sí, tienes razón.
@MoziburUllah: Pero el OP no dijo " matemáticas rigurosas ". Y su condición "si la intuición física es correcta" limita enormemente el alcance y la relevancia de su comentario. Las matemáticas pueden ayudar a confirmar o refutar nuestra intuición física; puede ayudar a obtener condiciones/supuestos implícitos necesarios para que se mantenga la conclusión; puede ayudar a comunicar el resultado de manera convincente a aquellos que (todavía) no comparten nuestra intuición física; y puede ayudar a extender el resultado a situaciones para las que (todavía) no tenemos intuición física.

Respuestas (1)

Si hay norte bolas, la masa total de todas las bolas es metro y la longitud del palo es L

Un arreglo como A no sería máximo ya que necesitamos el momento de inercia y depende de metro i d 2 y el d i podría ser mayor yendo a arreglo B

Si moviéramos una proporción de la masa k metro de un extremo de B para hacer C , el COM es ahora una distancia k L de un extremo y ( 1 − k ) L del otro

ingrese la descripción de la imagen aquí

El momento de inercia para B es

(1) metro L 2 4

Para C es ( k L ) 2 ( 1 − k ) metro + ( ( 1 − k ) L ) 2 k metro y eso simplifica a

(2) k ( 1 − k ) metro L 2

La expresión 2) solo es mayor que 1) si

(3) k ( 1 − k ) > 1 4
(4) 4 k 2 − 4 k + 1 < 0

(5) ( 2 k − 1 ) 2 < 0

Eso no es posible, aunque podemos conseguir 0 si k = 1 / 2 .

Así que cambiando la proporción de la masa en los extremos de B no puede aumentar el momento de inercia. Si parte de la masa se moviera desde un extremo de B a un lugar que no esté en el otro extremo de la varilla, eso no ayudaría, por lo que el arreglo B da el momento de inercia máximo.

El k − 1 Las expresiones en los diagramas deberían haber sido 1 − k
Gracias por la respuesta. Estoy principalmente confundido acerca del arreglo. A . Construyamos el arreglo A del arreglo C .Para ser más concretos, supongamos que hay una pequeña masa que corre desde la izquierda del palo hacia la derecha del centro de masa (podemos llamarlo O de ahora en adelante) del palo sin llegar al extremo derecho. Este caso no es obvio, y estoy principalmente confundido con esto.
@ Sherlock, sí, no es obvio, pero a partir de la respuesta principal, mover solo una masa de izquierda a derecha tendría un momento de inercia más bajo que B . También mover uno desde el extremo izquierdo hasta un punto que no esté completamente a la derecha sería incluso más bajo, ya que es como moverse completamente hacia la derecha con un palo más pequeño, por lo que tendría que terminar más bajo que B . A definitivamente sería más bajo que B como el ∑ metro i r i 2 sería menor ya que para muchas de las masas la r i son inferiores a B y el COM está en el medio para ambos casos.
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