Significado de renormalizabilidad perturbativa y no perturbativa

1. Las teorías perturbativamente renormalizables (o simplemente renormalizables) son aquellas que pueden renormalizarse consistentemente ajustando los valores de un número finito de parámetros a cualquier orden de la teoría de la perturbación. El momento clave aquí es que el número finito de parámetros se fija antes de elegir el orden de la teoría de la perturbación. Tenemos que ser capaces de dar sentido a la teoría en cualquier orden ajustando el mismo conjunto finito de parámetros. Ejemplos de renormalizable$4d$Los QFT incluyen$\varphi^4$(los parámetros son la renormalización de las intensidades de campo$Z$, la masa de la partícula$m$y el acoplamiento de interacción$\lambda$), teoría de Yukawa (tanto escalar como pseudoescalar), QED, Yang-Mills para grupos calibre compactos.

2. Las teorías perturbativas no renormalizables (o simplemente no renormalizables) son aquellas que no son perturbativamente renormalizables. Ejemplos incluyen$\varphi^6$en$4d$, relatividad general perturbativa.

3. Nunca escuché el término "renormalizable sin perturbaciones", pero supongo que lo que se quiere decir es finito . Las teorías finitas son aquellas que admiten una definición mecánica cuántica bien definida con un espacio de Hilbert (o un triple de Gelfand), y observables físicos como operadores autoadjuntos que actúan sobre él. Un momento increíblemente hermoso y no trivial aquí es que las teorías finitas pueden tener expansiones perturbativas que en realidad no son renormalizables. El mejor ejemplo aquí es la Relatividad General en$3d$. Witten lo cuantificó rigurosamente, pero su serie perturbativa es una expansión asintótica no renormalizable.

4. Las que no podemos formular o definir :) La lógica es que las teorías cuánticas definen acciones efectivas, no al revés. Si tenemos una teoría que no puede entenderse mecánicamente cuánticamente, entonces no tenemos ninguna teoría.

Todas estas distinciones están algo pasadas de moda, en la comprensión moderna de las QFT como teorías de campo efectivas, y si una QFT es fundamentalmente renormalizable o no es una preocupación principalmente para las personas que todavía creen en una QFT de todo. (Tenga en cuenta que, desde el punto de vista de la popularización, esto parece ser muy importante, pero se debe tener en cuenta que la mayoría de las personas que usan QFT/RG no están realmente trabajando en este tema de una teoría del todo).

(1) Una teoría perturbativamente renormalizable es una QFT, donde en cada orden de teoría de perturbación con un límite UV fijo$\Lambda$, se puede redefinir un número finito de parámetros en función de$\Lambda$, tal que el límite$\Lambda\to\infty$ahora está bien definido. Tenga en cuenta que esto debe hacerse en ese orden: primero, perturbación, luego$\Lambda\to \infty$. Los dos límites no necesariamente se conmutan. por ejemplo, el$\phi^4$la teoría en 4D es perturbativamente renormalizable, pero no existe en el límite continuo ($\Lambda\to\infty$desde el principio), es decir, si se insiste en que la teoría se define directamente con un corte infinito, con una constante de interacción finita, entonces sólo la teoría libre está bien definida.

(2) Una teoría perturbativamente no renormalizable es una QFT donde esto no se puede hacer. Uno necesita aumentar el número de parámetros a medida que aumenta el orden de la expansión de la perturbación. Esto no significa que la teoría sea inútil, solo que uno no puede deshacerse de la dependencia de alta energía con solo unos pocos parámetros. Este es el caso de la mayoría de las teorías.

(3) Una teoría renormalizable no perturbativa es una QFT en la que se puede tomar el límite continuo, con solo unos pocos parámetros necesarios para parametrizarlo por completo. Sin embargo, si uno trata de expandirse en la constante de acoplamiento, y luego toma$\Lambda\to\infty$, entonces la teoría parece ser no renormalizable. Esta idea está detrás del escenario de seguridad asintótica de la gravedad cuántica, donde se intenta realizar un cálculo no perturbativo para encontrar un punto fijo UV RG para controlar la teoría.

(4) Una teoría no perturbativamente no renormalizable es el negativo de lo anterior.

Tenga en cuenta que el límite continuo (una teoría definida de forma no pertubativa para existir en el límite$\Lambda\to\infty$) es de poco interés para la mayoría de las aplicaciones de QFTs, ya que en física estadística y materia condensada siempre hay un límite UV finito, y en HEP ​​se puede trabajar con EFTs, suficientes para describir energías obtenidas en aceleradores.

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