Significado de ∇pkW(p,h)∇pkW(p,h)\nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf p, h) en PBF

Estoy leyendo este documento sobre fluidos basados ​​en la posición y no pude entender el significado de ∇ pag k W ( pag i − pag j , h ) en la ecuación 7 (ver abajo).

…el gradiente de la función de restricción (1) con respecto a una partícula k viene dado por: ∇ pag k C i ( pag 1 , pag 2 , … , pag norte ) = 1 ρ 0 ∑ j ∇ pag k W ( pag i − pag j , h )

Entiendo el lado izquierdo de la ecuación: es ∇ pag k C i = [ ∂ C i ∂ pag k X ∂ C i ∂ pag k Y ∂ C i ∂ pag k Z ] . Sin embargo, no puedo agarrar el lado derecho: la función W se define (AFAIK) como W : R norte + 1 → R , lo que significa que se necesita un norte − vector dimensional y un escalar como entradas y produce un escalar.

no entiendo que significa la notacion ∇ pag k W media – en particular, ¿por qué existe el subíndice pag k - la función W no toma norte vectores como entrada, como el C i función lo hace, por lo que no se puede diferenciar con respecto a pag k (puede ser solo a su primer - vector - parámetro y su segundo - escalar - parámetro).

Edito: olvidé mencionar eso C i : R 3 norte → R .

Respuestas (1)

El caso es que hay varios W 's.

ρ i = ∑ j W ( pag i − pag j , h ) = W ( pag i − pag 1 , h ) + W ( pag i − pag 2 , h ) + …
dejando caer la masa como lo hacen en el papel.

La cuestión es que están tratando las partículas como indistinguibles, por ejemplo, todas tienen la misma masa, por lo que la forma de las funciones/restricciones que se les aplican son las mismas. Entonces hay tanto W j ya que como una función W j = W i excepto por sus argumentos. Es como pecado ⁡ ( X ) y pecado ⁡ ( y ) por ejemplo, misma forma funcional pero diferente argumento. Como ejemplo tomar W ( ⋅ 1 , ⋅ 2 ) = W ( ⋅ 1 − ⋅ 2 ) = ‖ ⋅ 1 − ⋅ 2 ‖

C i ( pag 1 , pag 2 , pag 3 ) = ∑ j W ( pag i , pag j ) = ‖ pag i − pag 1 ‖ + ‖ pag i − pag 2 ‖ + ‖ pag i − pag 3 ‖

Ellos dijeron eso

C i = ρ i ρ 0 − 1 = 1 ρ 0 ∑ j W ( pag i − pag j , h ) − 1

De este modo

∇ pag k C i = 1 ρ 0 ∑ j ∇ pag k W ( pag i − pag j , h )

Las derivadas serán simplemente cero si no hay dependencia de pag k . Ves que tienes varios pag y se tratan como parámetros independientes, como si tuviera partículas 1 y 2 , sus coordenadas r 1 , r 2 , y los gradientes escriben sus posiciones ∇ 1 y ∇ 2 .

Esto se enfatiza cuando escriben

∇ pag k C i = 1 ρ 0 { ∑ j ∇ pag k W ( pag i − pag j , h )  si  k = i − ∇ pag k W ( pag i − pag j , h )  si  k = j

La idea es si k = i entonces cada W depende de pag i , pero si k = j para específico j entonces solo ese término en la suma es distinto de cero después de derivar. El signo menos es de la regla de la cadena, ya que es pag i − pag j .

¡Gracias @snulty! Creo que lo entendí, pero solo para aclarar: consideremos el caso cuando k = j por ejemplo: Sigue siendo una suma, pero todos los elementos de la suma que no contienen pag k están "reducidos a cero" debido a la regla de la cadena. Al final puedo ignorar el pag k subíndice en − ∇ pag k W ( pag i − pag j , h ) y calcula solo − ∇ W ( pag i − pag j , h ) . ¿Está bien?
@sarasvati sí, eso es todo. Creo que la notación es mala, como al elegir k = j y también usando j para la suma.
Significado de ∇pkW(p,h)∇pkW(p,h)\nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf p, h) en PBF
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