Simulación de flujo de fluidos usando la ecuación de Euler

Con respecto a la primera mitad de su pregunta: su comprensión general parece ser correcta. Para responder a su pregunta sobre cómo saber si hay fluido en una celda dada, considere cuál es la densidad de masa$m(x,y,t)$está en una celda vacía. Es solo cero. Esto ya es manejado sin problemas por su sistema de ecuaciones.

Con respecto a la segunda mitad de su pregunta, este es un tema muy amplio. Por regla general, simular fluidos es difícil y existen muchos métodos que son apropiados en diferentes situaciones (por ejemplo, de los dos algoritmos con los que estoy más familiarizado, uno es muy bueno para resolver choques, pero no tan bueno para modelar ciertas inestabilidades como Rayleigh-Taylor, mientras que la segunda es buena para inestabilidades pero mala para resolver shocks). En lugar de intentar darte una gran introducción al tema, para lo cual probablemente deberías buscar un buen libro, te mostraré un concepto que espero te ayude a iniciarte en el fascinante mundo de los métodos numéricos.

El punto de partida clásico para las soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales es la ecuación del calor en una dimensión, porque es simple y relativamente fácil de resolver:

$$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

Considere la derivada del tiempo. Una definición matemática de la derivada es:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Una posible aproximación de esta derivada es no tomar el límite como$\Delta t\rightarrow0$, sino simplemente elegir un valor pequeño para$\Delta t$, donación:

$$\frac{\partial u}{\partial t}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$

Se puede usar un enfoque similar en la derivada espacial para llegar a (una de varias aproximaciones posibles):

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{\Delta x^2}$$

Poniendo todo esto junto en la ecuación de calor y reorganizando un poco da:

$$u(x,t+\Delta t) = u(x,t) + \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\left[u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)\right]$$

Observe que el siguiente estado del sistema (en$t+\Delta t$, en el lado izquierdo) se expresa completamente en términos del estado actual del sistema (en$t$) al lado derecho. Entonces puede codificar esto en una computadora y evaluar repetidamente nuevos estados con opciones apropiadamente pequeñas para$\Delta x$y$\Delta t$para conocer la evolución del sistema.

Conceptualmente, querrá hacer lo mismo con su sistema de ecuaciones de Euler, pero, por supuesto, las ecuaciones son más complicadas (tienen más términos y más campos para realizar un seguimiento). Tenga en cuenta que con una solución numérica SIEMPRE está construyendo una aproximación, por lo que, por definición, hay un error en su solución. Ahora el juego consiste en (1) comprender qué tan precisa es su aproximación, cuándo es válida, convergente, etc. y (2) tratar de mantener sus errores lo más pequeños posible mientras paga un costo razonable en recursos de cómputo. El ejemplo que di es fácil de entender y da una respuesta más o menos correcta para algunos escenarios simples, pero generalmente tiene una convergencia muy pobre y tiene grandes errores. Pero una vez que comprenda este ejemplo básico, será mucho más fácil leer sobre esquemas de solución más complicados.