Significado de 1dt√1dt\frac{1}{\sqrt{dt}} en el forzamiento estocástico

Question

Significado de 1dt√1dt\frac{1}{\sqrt{dt}} en el forzamiento estocástico

ruido
Física
simulaciones
dinámica de fluidos
procesos estocásticos
física computacional

mikefalopian

Estoy ejecutando una simulación de fluidos 2D con un forzamiento estocástico $f$ en una caja doblemente periódica, es decir, resolviendo

\frac{\partial \nabla^{2} ψ}{\partial t} = j (ψ, \nabla^{2} ψ) + F,

$\frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial t} = J(\psi,\nabla^2 \psi) +f,$ dónde

J

$J$ es un corchete de Poisson.

El forzamiento que he elegido es de la forma

F = \sum_{k, yo} C pecado (k X + α_{k}) pecado (yo y + β_{yo}),

$f= \sum_{k,l} c \sin(k x + \alpha_k) \sin(l y + \beta_l),$ donde los números de onda

k

$k$ y

l

$l$ se seleccionan de un anillo delgado centrado en

k_{f}

$k_f$ (una prescripción común), y

α_{k}

$\alpha_k$ y

β_{l}

$\beta_l$ son fases que son en cierto sentido estocásticas (más sobre esto más adelante). (Cuando

k = 0

$k=0$ o

l = 0

$l=0$ uno necesita un tratamiento ligeramente diferente, pero esto es un detalle menor).

Uno puede demostrar que $\int d^2 x \, \psi \frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial t} = - \frac{\partial E}{\partial t}$ dónde $E$ es la energía cinética total. Podemos usar esto para calcular la tasa de inyección de energía del forzamiento:

ε = - ⟨ F ξ ⟩ = \frac{norte C^{2}}{4 k_{F}^{2}},

$\varepsilon = -\langle f \xi \rangle = \frac{N c^2}{4 k_f^2},$ dónde

\nabla^{2} ξ = f

$\nabla^2 \xi = f$ y

N

$N$ es el número de vectores de onda en el espacio anular. Esto motiva la elección.

c = 2 k_{f} \sqrt{\frac{ε}{N}}

$c = 2 k_f\sqrt{\frac{\varepsilon}{N}}$ .

Ahora, necesitamos prescribir una correlación temporal para el forzamiento. La opción estándar es el ruido blanco, es decir, $f$ tiene una correlación delta en el tiempo. En (por ejemplo) el Apéndice A de Srinivasan y Young (2012) , los autores seleccionan las fases iid de una distribución uniforme y afirman que el forzamiento debe ser normalizado por $1/\sqrt{\delta t}$ ( $\delta t$ siendo el paso de tiempo del algoritmo de integración) para asegurar que está correlacionado delta. Esto plantea dos preguntas con las que estoy luchando:

¿Cómo, precisamente, conduce esto a un forzamiento delta-correlacionado? Tengo algunos problemas para mostrarlo analíticamente.
¿Qué pasa ahora con la tasa de inyección de energía? ¿No está alterado por un factor de 1/ $\delta t$ ? ¿Y no están las dimensiones ahora comprometidas?

Además, como se señala en el mismo apéndice, en un algoritmo de Runge-Kutta, el forzamiento debe mantenerse razonablemente suave durante el transcurso de un paso de tiempo, por lo que en ese artículo seleccionan las fases dentro de un paso de tiempo por lineal. interpolación. Estoy encontrando esto difícil de implementar con la biblioteca que estoy usando, así que tuve la idea de actualizar las fases por su propia caminata aleatoria:

α_{k} (t + d t) = α_{k} (t) + \sqrt{d t} η

$\alpha_k(t+\delta t) = \alpha_k(t) + \sqrt{\delta t} \eta$ con

η \sim N (0, σ^{2}),

$\eta\sim {\cal N}(0,\sigma^2),$ y lo mismo para el

β_{l}

$\beta_l$ . Entonces uno puede mostrar que esto conduce a la función de correlación

⟨ F (X, 0) F (X, t) ⟩ = \frac{norte C^{2}}{4} Exp (- | t | / τ)

$\langle f(\mathbf{x},0)f(\mathbf{x},t) \rangle = \frac{Nc^2}{4} \exp(-|t|/\tau)$ dónde

τ = 1 / σ^{2}

$\tau= 1/\sigma^2$ . Este forzamiento es bueno porque es agradable y suave y puedes controlar el tiempo de correlación... a menos que quieras ruido blanco. Así, una tercera pregunta:

¿Se puede ajustar esta prescripción forzosa simplemente de modo que, en el límite $\tau \to 0$ , el forzamiento es temporalmente blanco? Dice, por ejemplo, normalizar $f$ por $1/\sqrt{\tau}$ ¿trabajar?

Gracias de antemano a quien me pueda ayudar con esto.

Alejandro

Para responder (lo que entendí es) el primer punto, debes acertar las unidades. Desde

< η (t) η (t^{'}) >\propto δ (t - t^{'})

$<\eta(t)\eta(t')>\propto\delta(t-t')$ unidades de

η

$\eta$ son

1 / \sqrt{t}

$1/\sqrt{t}$ . Cuando lo inyectas a la ecuación estocástica

d x = a d t + b d t η

$dx=adt + bdt\eta$ el último término es en realidad proporcional a

\sqrt{d t}

$\sqrt{dt}$

mikefalopian

He pensado más en esto y es más fácil para mí conceptualizar en términos del teorema del límite central, que muestra que, si

\partial_{t} ζ = ξ (t)

$\partial_t \zeta = \xi(t)$ para algunos al azar

ξ

$\xi$ ,

ζ (τ) - ζ (0) \sim \sqrt{τ δ t} N (0, ⟨ ξ^{2} ⟩)

$\zeta(\tau)-\zeta(0) \sim \sqrt{\tau \delta t} {\cal N} (0, \langle \xi^2 \rangle)$ , por lo que necesitamos la normalización para garantizar que

⟨ ζ^{2} ⟩ \sim t

$\langle \zeta^2 \rangle \sim t$ como un buen movimiento browniano. Todavía estoy tratando de averiguar cómo afecta esto a la tasa de inyección de energía...

mikefalopian

Creo que ahora entiendo aproximadamente el problema de la inyección de energía. La tasa de inyección de energía no es, como escribí,

- ⟨ ξ f ⟩,

$-\langle \xi f \rangle,$ pero

- ⟨ ψ f ⟩

$-\langle \psi f \rangle$ . Es lógico, al menos en una especie de movimiento de manos, que

ψ \sim \sqrt{t} ξ

$\psi \sim \sqrt{t} \xi$ (donde de nuevo

\nabla^{2} ξ = f

$\nabla^2 \xi = f$ ), por lo que la tasa de inyección de energía de hecho solo es constante en el tiempo una vez que se introduce la normalización.

mikefalopian

Leer este documento aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.870050 me ayudó a resolver estos problemas conceptuales e identificar mi error

Alejandro

considere publicarlo como una respuesta, con una breve descripción de la solución

Respuestas (1)

Significado de 1dt√1dt\frac{1}{\sqrt{dt}} en el forzamiento estocástico

Para responder (lo que entendí es) el primer punto, debes acertar las unidades. Desde $<\eta(t)\eta(t')>\propto\delta(t-t')$ unidades de $\eta$ son $1/\sqrt{t}$ . Cuando lo inyectas a la ecuación estocástica $dx=adt + bdt\eta$ el último término es en realidad proporcional a $\sqrt{dt}$
He pensado más en esto y es más fácil para mí conceptualizar en términos del teorema del límite central, que muestra que, si $\partial_t \zeta = \xi(t)$ para algunos al azar $\xi$ , $\zeta(\tau)-\zeta(0) \sim \sqrt{\tau \delta t} {\cal N} (0, \langle \xi^2 \rangle)$ , por lo que necesitamos la normalización para garantizar que $\langle \zeta^2 \rangle \sim t$ como un buen movimiento browniano. Todavía estoy tratando de averiguar cómo afecta esto a la tasa de inyección de energía...
Creo que ahora entiendo aproximadamente el problema de la inyección de energía. La tasa de inyección de energía no es, como escribí, $-\langle \xi f \rangle,$ pero $-\langle \psi f \rangle$ . Es lógico, al menos en una especie de movimiento de manos, que $\psi \sim \sqrt{t} \xi$ (donde de nuevo $\nabla^2 \xi = f$ ), por lo que la tasa de inyección de energía de hecho solo es constante en el tiempo una vez que se introduce la normalización.
Leer este documento aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.870050 me ayudó a resolver estos problemas conceptuales e identificar mi error
considere publicarlo como una respuesta, con una breve descripción de la solución

mikefalopian · Answer 1

La necesidad de la normalización se puede ilustrar de la siguiente manera. Considere solo la contribución del forzamiento:

\partial_{t} ζ = F (t) .

$\partial_t \zeta = f(t).$

Si discretizamos el tiempo en pasos $\delta t$ , $f$ es una secuencia de variables aleatorias iid $\{f_i\}$ con media 0. Entonces tenemos (estableciendo $\zeta(0)=0$ )

ζ (t) = d t \sum_{i} F_{i} .

$\zeta(t) = \delta t \sum_i f_i.$

De acuerdo con el teorema del límite central, para $t\gg \delta t$ , tenemos

\sum_{i} F_{i} \sim \sqrt{norte} norte (0, ⟨ F^{2} ⟩)

$\sum_i f_i \sim \sqrt{N}{\cal N}(0,\langle f^2 \rangle)$ dónde

N = t / δ t

$N=t/\delta t$ . De este modo

ζ (t) \sim \sqrt{t d t} norte (0, ⟨ F^{2} ⟩)

$\zeta(t) \sim \sqrt{t \delta t} {\cal N}(0,\langle f^2 \rangle)$ y es evidente que

f

$f$ debe ser normalizado por

1 / \sqrt{δ t}

$1/\sqrt{\delta t}$ para que su evolución sea independiente del paso de tiempo.

Mi problema con la tasa de inyección de energía se debió en gran medida a un error de cálculo. la tasa es

ε = - ⟨ ψ F ⟩,

$\varepsilon = - \langle \psi f\rangle,$ no

- ⟨ ξ f ⟩

$-\langle \xi f \rangle$ (donde de nuevo,

\nabla^{2} ξ = f

$\nabla^2 \xi = f$ ). Siguiendo a K. Alvelius PoF 11, 1880 (1999) , tenemos (considerando solo la contribución del forzamiento a la dinámica)

ψ = \int_{0}^{t} d τ ξ (τ),

$\psi = \int_0^t d\tau \, \xi(\tau),$ entonces

ε = - \int_{0}^{t} d τ ⟨ ξ (τ) F (t) ⟩ .

$\varepsilon = - \int_0^t d\tau \, \langle \xi(\tau)f(t) \rangle.$

Mi cálculo erróneo anterior no tenía las unidades correctas y claramente omitió un factor con dimensiones de tiempo. En el caso de mi implementación del forzamiento, la tasa de inyección de energía sigue como

ε = \frac{norte C^{2}}{4 k_{F}^{2}} τ_{C} (1 - Exp (- | t | / τ_{C})

$\varepsilon =\frac{Nc^2}{4k_f^2} \tau_c (1- \exp(-|t|/\tau_c)$ .

Después de muchos tiempos de correlación, el segundo término es insignificante y eligiendo

C = 2 k_{F} \sqrt{\frac{ε}{norte τ_{C}}}

$c= 2 k_f \sqrt{\frac{\varepsilon}{N \tau_c}}$ fija una tarifa elegida

ε

$\varepsilon$ . Tenga en cuenta que el factor

1 / τ_{c}

$1/\tau_c$ , previamente perdido. Esta normalización también asegura que en el límite

τ_{c} \to 0

$\tau_c \to 0$ , el volumen de la función de correlación se conserva correctamente y se obtiene una función delta, como se desea.

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