Significado de los signos integrales en la física clásica

Cuando comencé a estudiar física, por mi cuenta, en un libro de texto universitario, FJ Keller, WE Gettys , MJ Skove, Physics , hace aproximadamente un año, creía que todas las integrales que iba a encontrar en textos tan elementales de física clásica eran , como dice WolframMathworld , integrales de Riemann, aunque había estudiado un poco de integración de Lebesgue y análisis funcional siguiendo todo el volumen de AN Kolmogorov, SV Fomin, Элементы теории функций и функционального анализа (solo unos pocos contenidos más que Introducción al análisis real ).

Interpretar las integrales como integrales de Riemann me parece consistente con el lenguaje de algunos textos de física cuando hablan de sumar cantidades " infinitesimales ", como "sumar masas infinitesimales". ρ d V para calcular la masa ∫ V ρ d V de un cuerpo, que yo leería como una forma más corta de decir "calcular el límite límite d PAG → 0 ∑ i ρ ¯ ( ξ i ) Δ V i dónde d PAG es la malla del tabique y ρ ¯ ( ξ i ) Δ V i , con ξ i en el pequeño paralelepípedo cuyo volumen es Δ V i , es una aproximación de la masa contenida en el paralelepípedo".

Sin embargo, recientemente encontré un uso de los signos integrales que me confunde. Mientras estudio electrodinámica clásica elemental, en particular la ley de Biot-Savart y Ampère, encuentro expresiones como la siguiente para el campo magnético

B ( r ) = m 0 4 π ∭ V j ( yo ) × r − yo ‖ r − yo ‖ 3 d 3 yo
que no puede ser un Riemann propio si r ∈ V ¯ . Por la forma en que se manipula en las derivaciones de la ley de Ampère, como la que se encuentra en Wikipedia , me inclinaría a excluir que sea una integral de Lebesgue, porque, siempre que el mismo signo ∭ V d 3 yo significa lo mismo en cada paso*, si ∭ V j ( yo ) ∇ r ( ‖ r − yo ‖ − 1 ) d 3 yo si fuera una integral de Lebesgue sería igual 0 y no − 4 π j ( r ) como se desee, diría yo. Desde la de Dirac d aparece en el análisis funcional, me inclino a suponer que ∭ V d 3 yo es solo una notación simbólica para un operador lineal, pero el único operador lineal que puedo imaginar que está definido por ∭ V j ( yo ) × ( r − yo ) ‖ r − yo ‖ 3 d 3 yo es
j ↦ ∫ V j ( yo ) × r − yo ‖ r − yo ‖ 3 d m yo
donde la imagen de j es una integral de Lebesgue, nuevamente, lo que nos lleva de vuelta al mismo problema descrito anteriormente.

¿Hay algún principio general válido para interpretar lo que significan las integrales (es decir, si son integrales de Riemann, Lebesgue o lo que sea), si no se especifica nada por parte del autor, en textos de física clásica? Agradezco mucho a cualquier contestador.

*Si eso no fuera cierto, esa derivación sería aún más complicada de entender, pero no estoy seguro de que podamos descartar la hipótesis de que el signo ∭ V d 3 yo se utiliza para diferentes cosas a través del esquema de prueba.

Respuestas (1)

No estoy seguro de haber entendido tu pregunta, pero voy a tratar de mostrar algo de luz sobre esto. Léalo despacio y con cuidado, necesita un poco de concentración y pensamiento abstracto.

Imaginemos que integras sobre un cuerpo, sumando infinitas particiones infinitesimales de este cuerpo sobre su volumen. es decir ∫ v d V como bien sabes. Pero, ¿qué significa eso? Déjame mostrarte algunos ejemplos para desarrollar lo que necesitas entender:

  • Cubo (o cualquier figura cuadrada en 3D):

¿Cómo logras calcular el Volumen de un Cubo? Parece fácil, asumiendo que el cubo tiene X , y y z bordes, solo V = X y z . La definición de un cubo perfecto implica que X = y = z ; entonces en este caso V = X 3 . Todo esto asumiendo un mundo discreto, donde el borde siempre es X .

Ahora podemos pensar en un sistema continuo, donde podemos encontrar el volumen de un cubo infinitesimal con aristas infinitesimales. Estos bordes se definen como d X , d y y por supuesto - d z . Y el volumen es d V = d X d y d z . Ahora, si queremos calcular el volumen total de un volumen un poco más grande que solo infinitesimal , debemos integrarlo: V = ∫ v d V . Estamos sumando pequeños volúmenes infinitesimales para obtener un volumen "total". Lo interesante es que dijimos que d V se define con tres coordenadas independientes e infinitesimales. Por lo tanto, cada uno merece su propia integral. ¿Cómo? Bueno, es fácil darse cuenta de que X = ∫ d X , y = ∫ d y y z = ∫ d z . Entonces es fácil ver que V = ∫ v d V = ∫ d X ∫ d y ∫ d z . Y, si estas coordenadas son independientes entre sí, podemos decir: V = ∫ ∫ ∫ d X d y d z .

  • Esfera

Una vez que hayas entendido el cálculo anterior, podemos pasar a calcular el volumen de una esfera.

En coordenadas esféricas:

X = r porque ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( ϕ ) y = r pecado ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( ϕ ) z = r porque ⁡ ( ϕ )

Puedes calcular eso | d ( X , y , z ) d ( r , θ , ϕ ) | = r 2 pecado ⁡ ( ϕ )

Por eso, d X d y d z = r 2 pecado ⁡ ( ϕ ) d r d ϕ d θ .

Ahora, como en el caso del cubo , calcula

V = ∫ 0 r d r ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π pecado ⁡ ( ϕ ) d ϕ . Conseguirás V = 4 3 π r 3 .

  • General

Generalizando todo esto, se puede decir d yo → = ( X , y , z ) e integrar a lo largo de una estructura unidimensional, decir d 2 yo como la superficie de cualquier estructura bidimensional infinitesimal, ..., di d norte yo como el hipervolumen de cualquier estructura infinitesimal n-dimensional.

Volviendo a tu caso, ¿qué d 3 yo ¿medio? Como puedes inferir, representa tres variables infinitesimales e independientes.

d X d y d z si estas en coordenadas cartesianas r 2 pecado ⁡ ( ϕ ) d r d ϕ d θ en coordenadas esféricas, etc.

Espero haberte ayudado, no fui precisa para explicarlo lo más fácil posible. Si usted está interesado, me gustaría recomendarle estos libros: Apostol - Cálculo. Volumen 1 y 2. Seguro que te ayudará.

¡Gracias, Alejandro! Es usted muy amable. Si entiendo, estás describiendo una integral de Riemann usando el lenguaje de "infinitesimales" como lo hice para ∫ V ρ d V en mi pregunta, que pregunta si existe un principio general para interpretar las integrales que se encuentran en la física clásica elemental:
cómo decidir si un signo integral significa una integral de Riemann (que es lo que usted describe, diría yo), una integral de Lebesgue , una notación simbólica para un funcional lineal o cualquier otra cosa...
Espero haber podido encontrar una prueba de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot-Savart aquí , pero, como digo allí, la mejor interpretación que puedo encontrar de las integrales y los signos nabla de Wikipedia (y de la Electrodinámica clásica de Jackson ) ) el esquema de prueba es leerlos como integrales de Lebesgue excepto por la integral donde ∇ 2 ( 1 | r − yo | ) aparece...
... Esa sería una notación tremendamente confusa para mí (más aún con eso de hacer una integración por partes ), por lo que estoy lejos de estar seguro.
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