Si un operador de simetría S en una QFT aniquila el vacío, ¿por qué S conserva el espacio de estados de 1 partícula?

En el artículo " Supersymmetry and Morse Theory ", en la tercera página (p. 663 en la versión del diario), Witten dice:

"Ahora, en cualquier teoría cuántica de campos, si un operador de simetría (un operador que conmuta con el hamiltoniano) aniquila el estado de vacío, entonces los estados de una partícula proporcionan una representación de la simetría".

¿Por qué es esto cierto? ¿Hay alguna explicación o cálculo simple que no vaya demasiado lejos de la discusión relativamente informal de Witten en la introducción de este artículo, o es más complicado?

El caso H ^ ∝ norte ^ es trivial H ^ S ^ | norte ⟩ = S ^ H ^ | norte ⟩ = norte S ^ | norte ⟩ , asi que S ^ | norte ⟩ tiene el mismo número de partículas que | norte ⟩ . En otras palabras, S ^ conserva el número de partículas. Una teoría de campo "libre" es precisamente aquella en la que H ^ es una suma de norte ^ operadores para cada modo posible, por lo que hemos demostrado que el enunciado es verdadero para una teoría libre. Para una teoría interactiva, no lo sé.
Se pueden encontrar más respuestas (entre ellas las mías) junto con una extensa discusión en physicsoverflow.org/30822

Respuestas (1)

Esta es una explicación heurística de la declaración de Witten, sin entrar en las sutilezas de los problemas de la teoría cuántica de campos axiomática, como la polarización del vacío o la renormalización.

Una partícula se caracteriza por un momento definido más otros posibles números cuánticos. Por lo tanto, los estados de una partícula son, por definición, estados con valores propios definidos del operador de momento, pueden tener más números cuánticos. Estos estados deberían existir incluso en una teoría de campo de interacción, describiendo una sola partícula alejada de cualquier interacción. En una teoría cuántica de campo local, estos estados están asociados con operadores de campo locales:

| pags , σ ⟩ = ∫ mi i pags X ψ σ † ( X ) | 0 ⟩ d 4 X
Dónde ψ es el campo correspondiente a la partícula y σ describe el conjunto de otros números cuánticos adicionales al momento. Un generador de simetría q siendo la integral de una densidad de carga según el teorema de Noether
q = ∫ j 0 ( X ′ ) d 3 X ′
debe generar un campo local cuando actúa sobre un campo local: [ q , ψ 1 ( X ) ] = ψ 2 ( X ) (En el caso de simetrías internas ψ 2 depende linealmente de las componentes de ψ 1 ( X ) , en el caso de las simetrías espaciotemporales depende de las derivadas de las componentes de ψ 1 ( X ) )

Así en general:

[ q , ψ σ ( X ) ] = ∑ σ ′ C σ σ ′ ( i ∇ ) ψ σ ′ ( X ) ] )

Donde la dependencia de los coeficientes C σ σ ′ en el operador de cantidad de movimiento ∇ se debe a la posibilidad de que q contiene una simetría espacio-temporal. Así para un operador q satisfactorio q | 0 ⟩ = 0 , tenemos

q | pags , σ ⟩ = ∫ mi i pags X q ψ σ † ( X ) | 0 ⟩ d 4 X = ∫ mi i pags X [ q , ψ σ † ( X ) ] | 0 ⟩ d 4 X = ∫ mi i pags X ∑ σ ′ C σ σ ′ ( i ∇ ) ψ σ ′ ( X ) | 0 ⟩ d 4 X = ∑ σ ′ C σ σ ′ ( pags ) ∫ mi i pags X ψ σ ′ † ( X ) | 0 ⟩ d 4 X = ∑ σ ′ C σ σ ′ ( pags ) | pags , σ ′ ⟩
Así, la acción del operador q es una representación en los estados de una partícula. El hecho de que q conmuta con el hamiltoniano es responsable de la degeneración energética de su acción, es decir, los estados | pags , σ ⟩ y q | pags , σ ⟩ tener la misma energía.

1) ¿Por qué [ q , ψ ] tiene que producir un campo estrictamente local? Supongo que la simetría del hamiltoniano puede llevar al requisito de que lo haga, pero no lo veo. 2) ¿Son válidas las afirmaciones en la teoría de campos interactivos? ¿Podría tal vez señalar una referencia en la que se muestre que los estados de una partícula que interactúan entre sí en toda regla también proporcionan una representación de la simetría?
@Void 1) Piense por un momento en q como operador de carga eléctrica, puede escribirlo utilizando la ley de Gauss como una integral de superficie del campo eléctrico sobre una esfera muy grande en el infinito. Debido a la gran distancia estos campos no producen singularidades al multiplicarse por otros campos, por lo que las únicas singularidades que provienen del conmutador son las debidas al campo local. ψ , por lo que el conmutador mismo es también un campo local en X .
@Void 2) Asumiendo la simetría de Lorentz, los factores de renormalización Z en ψ R =Z(ψ)ψ son escalares de Lorentz, por lo tanto, nada esencial cambia en el análisis cuando se usa el verdadero campo renormalizado: sus propiedades de transformación siguen siendo las mismas.
Si un operador de simetría S en una QFT aniquila el vacío, ¿por qué S conserva el espacio de estados de 1 partícula?
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