¿De dónde provienen los grados de libertad del bosón de Goldstone?

Bueno, el modelo potencial del sombrero de Goldstone de 1961 ilustra ampliamente los conceptos básicos. Permítanme vulgarizarlos.

En el lenguaje O(2), con despreocupación por las normalizaciones, piensa en una teoría de campo escalar compleja, cuyos componentes reales e imaginarios se resuelven en un sistema de dos grados de libertad escalares reales, con potencial prototipo

$$\frac{\lambda}{4} (A^2 + B^2 +\epsilon v^2)^2 .$$ La simetría de isorotación O(2) envía A a $A\cos \theta- B \sin \theta$; y B a la combinación ortogonal. La corriente conservada es $J_\mu = A\partial _\mu B - B\partial_\mu A$, es decir $\partial \cdot J=0$, y $i\theta [Q, A]=\delta A ~,$y lo mismo para B , entonces $$\delta A =- \theta B, ~~~~\delta B=\theta A ~.$$

Deslice el parámetro ε desde 1 (genérico para positivo que no se desvanece); a 0; a -1 (genérico para negativo que no se desvanece), y monitoree el destino cualitativo de los dos campos a lo largo de estos tres casos.

Para ε=1 , A y B son gemelos. tienen la misma masa,$\sqrt{\lambda} v$, ya que el mínimo del potencial está en$\langle A\rangle =\langle B\rangle = 0$, y entonces$\langle \delta A\rangle= \langle \delta B\rangle= 0$, eso es,$Q|0\rangle=0$, por lo que el vacío es invariante bajo isorotación,$e^{i\theta Q}|0\rangle=|0\rangle$. El potencial se ve así:

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Disminuyendo ε a 0, la masa de A y B disminuye a 0, pero siguen siendo gemelos, y su rotación mutua sigue siendo lineal, y el vacío sigue siendo simétrico; todas las relaciones anteriores (excepto la masa desvanecida) son las lo mismo que arriba.

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Tan pronto como ε se vuelve negativo, sucede algo catastróficamente, cualitativamente diferente : SSB. Tome ε como -1 por simplicidad. Ahora el potencial cuártico se transforma en el icónico sombrero de Goldstone, y el mínimo es todo este círculo plano en el plano AB . La simetría te desliza sin resistencia por ese fondo degenerado (órbita).

Por lo tanto, se fuerza una elección para el estado fundamental: suponga que elige, arbitrariamente,$\langle B\rangle=0$y$\langle A\rangle =v$. Como está interesado en las excitaciones alrededor de este vacío, cambie a variables de conveniencia,$A\equiv v+h$, entonces h es la excitación alrededor de este vacío con$\langle h\rangle=0$.

El potencial cuártico ahora se expande a

$$\frac{\lambda}{4} \left ( B^4+ h^4 +2h^2B^2 +4vh(B^2+h^2) +4v^2 h^2 \right).$$ No hay un término de masa para B , sino una masa considerable para h (anteriormente conocida como A ; podría llevar esta masa al infinito, si está inclinado, enviando λ allí), similar a la masa que solía tener antes de la SSB.

• La parte decisiva es$\langle B \rangle= \langle h \rangle= \langle \delta A \rangle=0$, pero $\langle \delta B \rangle= \theta v$, que no se desvanece: el sello distintivo del bosón de Goldstone , ya que$\delta B= \theta v+ \theta h$; llame a v el parámetro de pedido. Este cambio de no linealidad en la transformada de Goldston excluye la existencia de un término de masa para él, ya que ese término no sería invariable bajo la simetría, todavía todopoderoso, pero un poco oculto (¿a quién estamos engañando? Esto se denomina Nambu-Goldstone realización).

La corriente$J_\mu = v\partial_\mu B+ h\partial _\mu B - B\partial_\mu h$, por supuesto, todavía se conserva, pero, compruebe que ahora$Q|0\rangle\neq 0$: la simetría mueve el vacío alrededor de la parte inferior del sombrero, lo que provoca que salgan B salpicadas: golpea el tazón de gelatina con una cuchara.$|B(p=0)\rangle$es degenerado con$|0\rangle$, como$\langle B(p)| J_\mu (x)|0\rangle\sim e^{ip\cdot x} v p_\mu$.

Mira esto$[Q,H]=0$, entonces$H (Q|0\rangle)= Q(H|0\rangle)= QE_0|0\rangle= E_0(Q|0\rangle)$.

Por el contrario, las oscilaciones de la masa h (la σ, o "Higgs") corresponden a rodar arriba y abajo de las paredes del valle del sombrero, transversalmente al eje del valle.

• La conclusión : a medida que ε se desliza de 1 a 0 a -1, la masa del "higgs", A/h , disminuye a 0 y luego vuelve a su valor anterior; por el contrario, la masa de B decrece a 0 y permanece ahí: pero, de repente, para ε<0 , se transforma en un goldston.