¿Pueden los campos escalares reales romper la simetría de conjugación de carga?

Para un campo escalar complejo, la conjugación de carga$\cal{C}$es definido por:

$\qquad\cal{C}\hat\phi(x)\cal{C}^{-1}=\eta\,\hat\phi^\dagger(x)\quad$y$\quad\cal{C}\,\hat\phi^\dagger(x)\cal{C}^{-1}=\eta^*\hat\phi(x),$

mientras$\eta$es un número complejo con$|\eta|=1$. Ahora, para un campo neutral, es decir,$\phi^\dagger=\phi$, según la definición anterior,$\eta$tiene que ser valorado real y por lo tanto$\eta=\pm 1$. Es decir, un campo escalar real no necesariamente tiene que estar incluso bajo conjugación de carga.