Si se van a colocar 121212 bolas distintas en 333 cajas idénticas, ¿cuál es la probabilidad de que una de las cajas contenga exactamente 333 bolas?

Question

Si se van a colocar 121212 bolas distintas en 333 cajas idénticas, ¿cuál es la probabilidad de que una de las cajas contenga exactamente 333 bolas?

Samar Imam Zaidi

Esta es una pregunta adicional que se hace en un examen competitivo. Todas las opciones son incorrectas.

Pondré la pregunta, luego la solución que obtuve de Internet y luego mi solución.

Por favor, ayuda a determinar si mi solución es correcta o no.

La respuesta del sitio web es la siguiente y supongo que es incorrecta.

Mi solución es la siguiente

Por favor, ayúdenme a encontrar la solución correcta si mi solución es incorrecta.

Enrique

El denominador de la respuesta debe dividir

3^{12}

$3^{12}$ como

12

$12$ las bolas entran

3

$3$ cajas Tu solución no

Arturo

Por lo menos, parece que falta algo de inclusión-exclusión en la solución del sitio web. Además, la respuesta a esta pregunta no se ve afectada en absoluto por si las bolas y las cajas son distinguibles, entonces, ¿por qué especificar que las bolas sí lo son y las cajas no?

Samar Imam Zaidi

Mi

3^{12}

$3^{12}$ referirse al caso sin restricción cuando tanto las bolas como las cajas son distintas. Aquí las cajas son idénticas y las bolas son distintas.

Iván Kaznacheyeu

Yo creo,

n (S) = 3^{12}

$n(S)=3^{12}$ en las soluciones del sitio web no es correcto si las casillas son idénticas.

Samar Imam Zaidi

SÍ, volveré a repetir que esta es una pregunta ADICIONAL formulada en un examen competitivo.

Samar Imam Zaidi

bright.org/wiki/distinct-objects-into-identical-bins/…

Samar Imam Zaidi

Consulte este sitio web para cualquier persona que quiera resolverlo.

drhab

Nombra las cajas como

a, b, c

$a,b,c$ y deja

A

$A$ denote el evento que la caja

a

$a$ recibe

3

$3$ pelotas (lo mismo para

B

$B$ y

C

$C$ ). Luego aplicando inclusión/exclusión y simetría encontramos la respuesta:

PAG (A \cup B \cup C) = 3 PAG (A) - 3 PAG (A \cap B)

$P(A\cup B\cup C)=3P(A)-3P(A\cap B)$ (tenga en cuenta que

A \cap B \cap C = \emptyset

$A\cap B\cap C=\varnothing$ ). El sitio web da mal

3 P (A)

$3P(A)$ como solución.

usuario2661923

Ver mi comentario siguiendo la respuesta de Blaise. Véase también Inclusión-Exclusión .

Salmón

Encontré la probabilidad

0.142...

$0.142...$ , pero no está en las selecciones

Misha Lavrov

¿Qué tiene que ver ser una "pregunta BONUS" con que las respuestas sean correctas o incorrectas?

Respuestas (3)

Si se van a colocar 121212 bolas distintas en 333 cajas idénticas, ¿cuál es la probabilidad de que una de las cajas contenga exactamente 333 bolas?

El denominador de la respuesta debe dividir $3^{12}$ como $12$ las bolas entran $3$ cajas Tu solución no
Por lo menos, parece que falta algo de inclusión-exclusión en la solución del sitio web. Además, la respuesta a esta pregunta no se ve afectada en absoluto por si las bolas y las cajas son distinguibles, entonces, ¿por qué especificar que las bolas sí lo son y las cajas no?
Mi $3^{12}$ referirse al caso sin restricción cuando tanto las bolas como las cajas son distintas. Aquí las cajas son idénticas y las bolas son distintas.
Yo creo, $n(S)=3^{12}$ en las soluciones del sitio web no es correcto si las casillas son idénticas.
SÍ, volveré a repetir que esta es una pregunta ADICIONAL formulada en un examen competitivo.
Consulte este sitio web para cualquier persona que quiera resolverlo.
Nombra las cajas como $a,b,c$ y deja $A$ denote el evento que la caja $a$ recibe $3$ pelotas (lo mismo para $B$ y $C$ ). Luego aplicando inclusión/exclusión y simetría encontramos la respuesta: $PAG (A \cup B \cup C) = 3 PAG (A) - 3 PAG (A \cap B)$ $P(A\cup B\cup C)=3P(A)-3P(A\cap B)$ (tenga en cuenta que $A\cap B\cap C=\varnothing$ ). El sitio web da mal $3P(A)$ como solución.
Ver mi comentario siguiendo la respuesta de Blaise. Véase también Inclusión-Exclusión .
Encontré la probabilidad $0.142...$ , pero no está en las selecciones
¿Qué tiene que ver ser una "pregunta BONUS" con que las respuestas sean correctas o incorrectas?

amante de las matemáticas · Answer 1

Que las urnas sean idénticas o distintas no cambia la probabilidad de que una de las cajas tenga exactamente $3$ pelotas.

Aplicando el principio de inclusión exclusión, número de formas de distribución $12$ bolas en tres urnas tales que al menos una de las urnas tiene exactamente $3$ bolas es

$\displaystyle {3 \choose 1} {12 \choose 3} \cdot 2^9 - {3 \choose 2} {12 \choose 3} {9 \choose 3}$

Primero elegimos una urna que recibirá $3$ bolas y elige $3$ bolas para la urna y luego repartir resto $9$ bolas en el resto $2$ urnas Pero cada uno de ellos contará también los casos en que dos de las urnas hayan $3$ bolas cada uno. Entonces, en total, los casos en los que dos urnas reciben $3$ bolas, cada una se cuenta en exceso una vez y, por lo tanto, las restamos usando el siguiente término.

La pregunta no lo dice claramente, pero si la distribución debe tener bolas en cada una de las tres urnas, entonces el número de formas es,

$\displaystyle {3 \choose 1} {12 \choose 3} \cdot (2^9 - 2) - {3 \choose 2} {12 \choose 3} {9 \choose 3}$

Saco dos casos de $2^9$ donde se recibió una de las urnas restantes restantes todas $9$ pelotas.

Finalmente, dividiendo por $3^{12}$ da la probabilidad deseada.

quiero preguntar algo diferente, cuando pensamos que la parte del denominador es una pregunta de combinatoria diferente tal que dispersar $12$ diferentes bolas en $3$ urna idéntica, entonces la respuesta del OP es una buena manera, es 88574. Sin embargo, si queremos resolverlo mediante funciones generadoras exponenciales, entonces sería $(3^{12})/3!=88573.5)$ . ¿Cuál es el error aquí?
@Math Lover: respetuosamente no estoy de acuerdo con tu respuesta. El denominador que obtengo es $88574$ que tiene factores primos $2\times 67\times 661$ . Esta pregunta también puede verse en este contexto. matemáticas.stackexchange.com/questions/4256025/…
@trueblueanil $88574$ sería la respuesta correcta si estuviera buscando varias formas de distribuir $12$ pelotas diferentes para $3$ urnas idénticas . Eso es $[3^{12} - 3] / 3! + 1 = 88574$ pero esta es una cuestión de probabilidad. Independientemente de si marqué las urnas de manera diferente o si las dejé sin marcar, la probabilidad de que una urna reciba exactamente $3$ bolas no cambia.
Lo siento, pero la pregunta menciona claramente cuadros idénticos, y OP ha agregado configuraciones de solo $1$ caja llena, $2$ cajas llenas y $3$ cajas llenas. En este momento publicaré arreglos con cajas que tengan exactamente $3$ Bolas, no es tedioso calcular para un problema tan pequeño, pero no obtengo una fórmula general.
Sí, OP ha mencionado claramente cajas idénticas, pero esta es una pregunta sobre probabilidad y no sobre combinatoria. El método que elige OP no dará la probabilidad correcta por la misma razón que las estrellas y las barras no dan la probabilidad correcta en la mayoría de los casos. Los resultados que cuenta en el método de OP pueden no ser equiprobables.
El punto que estoy haciendo es que tomemos $3$ primero urnas idénticas y después digo que pongo una marca de color diferente en cada una de ellas. ¿Cambiaría eso la probabilidad de que al menos una de las urnas reciba exactamente $3$ ¿pelotas? El método que utilizo asegura que todos los resultados sean equiprobables.
¡Después de pensarlo más, estoy confundido! Mi pregunta es: ¿Cómo se llenan las cajas para dar números de Stirling? No estoy tan seguro de que estés equivocado, ¡cambiaré mi voto! :-)
@trueblueanil Sé muy poco sobre rechazar una respuesta porque nunca la he usado para una respuesta de un usuario reputado :)

anil azul verdadero · Answer 2

Sí, todas las respuestas son incorrectas.

Su error se encuentra hacia el paso final.

Distribuciones que tienen exactamente una caja que tiene exactamente $3$ bolas es $29,920$ y si esta es la intención, este debería ser el numerador.

De lo contrario, si $3-3-9$ También se deben considerar los casos, debe agregar solo la mitad de $18,480$

Por lo tanto, la respuesta final debería ser $\dfrac{29920}{88574}\;\; or\;\; \dfrac{39160}{88574}$

Material añadido para $3$ casos de bolas

$\displaylines{9-3-0:\frac{12!}{9!3!} = 220\\ 8-3-1:\frac{12!}{8!3!1!}=1980\\6-3-3: \frac{12!}{6!3!3!}\Big/2! = 9240\\5-4-3: \frac{12!}{5!4!3!} = 27720}$

Total si exactamente una caja tiene que tener exactamente $3$ pelotas $= 29,920$

Total si una o más cajas pueden tener exactamente $3$ pelotas $=39,160$

Tomemos ejemplo de $4$ pelotas diferentes y $3$ urnas idénticas. ¿Cuál diría usted que es la probabilidad de que al menos una de las urnas tenga exactamente $2$ bolas es? $9/14$ ?
@Samar Imam Zaidi: El consenso de los expertos experimentados es que cuando se pregunta por la probabilidad , la información sobre si las casillas son idénticas es irrelevante. Entonces, podría desmarcar mi respuesta y marcar otra con la solución tratándola como bolas distintas en cajas distintas.

Blaise · Answer 3

Blaise

La probabilidad es equivalente a la suma de las probabilidades de que a cualquier urna le caigan 3 bolas, es decir, "en la urna 1 van 3 bolas y en las otras dos van 9" + "en la urna 2 van 3 bolas y en las otras dos van 9 " + "en la urna 3 entran 3 bolas y en las otras dos van 9". Puede calcular estas probabilidades simplemente asignando números de urna a cada bola uno por uno. Encontraría que la probabilidad es 1/3 ^ 3 * 2/3 ^ 9 * 12 C 3, multiplicado por 3 para cada una de las urnas da un 112640/177147 exacto, que es el mismo resultado dado por el sitio web

Samar Imam Zaidi

Esta es una pregunta adicional, por lo que todas las respuestas son incorrectas. Las cajas son idénticas, por lo que no hay urna 1, urna 2 y urna 3

Arturo

@SamarImamZaidi Puede hacer que las cajas se distingan si lo desea. La probabilidad no se ve afectada al tomar un marcador y escribir números en las casillas.

Samar Imam Zaidi

Aunque el sitio web lo resolvió, sigue siendo una pregunta ADICIONAL y nadie lo resolvió correctamente, por lo tanto, necesito ayuda.

Samar Imam Zaidi

Mire mi solución y compárela con la siguiente solución del sitio web

Samar Imam Zaidi

bright.org/wiki/distinct-objects-into-identical-bins/…

Samar Imam Zaidi

keisan.casio.com/exec/system/1292214964

Samar Imam Zaidi

Poner n=12, por lo tanto S(12,1)+S(12,2)+S(12,3) es el número total de casos

drhab

Esto no es correcto porque las soluciones se cuentan más de una vez. Por ejemplo, solución

(3, 3, 6)

$(3,3,6)$ se cuenta dos veces.

usuario2661923

Según el comentario de @drhab, si bien el problema encaja bien con la inclusión-exclusión, el problema se puede atacar de otras maneras. La inclusión-exclusión es simplemente la más fácil. Dejar

| S |

$|S|$ denota el # de elementos en el conjunto finito

S

$S$ . Dados conjuntos finitos

A_{1}, \dots, A_{n}

$A_1, \cdots, A_n$ , definir

T_{r} = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq norte} | A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap \dots \cap A_{i_{r}} | .

$T_r = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n} \left|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_r}\right|.$ Eso es,

T_{r}

$T_r$ se calcula teniendo en cuenta

(\binom{n}{r})

$\binom{n}{r}$ términos, donde cada término implica la intersección de

r

$r$ conjuntos Entonces

| A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{norte} | = \sum_{r = 1}^{norte} [- 1]^{(r + 1)} T_{r} .

$|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = \sum_{r=1}^n [-1]^{(r+1)} T_r.$

anil azul verdadero

@drhab: ¿Cómo se supone que se llenan contenedores idénticos con bolas distintas para que sea diferente de llenar contenedores distintos con bolas distintas?

drhab

@trueblueanil Si los contenedores son idénticos, por ejemplo, resultado

(3, 3, 6)

$(3,3,6)$ no difiere del resultado

(3, 6, 3)

$(3,6,3)$ . Por lo tanto, importa si está contando ese tipo de resultados. En este contexto, sin embargo, no es relevante.

12

$12$ las bolas se colocan en

3

$3$ cajas y la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cajas contenga

3

$3$ ¿pelotas? Esto solo concierne a las cantidades y puede resolverse sin prestar atención a distinguibles opuestos a idénticos. Las etiquetas (también relativas a las bolas) son confusas y deben ignorarse.

Si se van a colocar 121212 bolas distintas en 333 cajas idénticas, ¿cuál es la probabilidad de que una de las cajas contenga exactamente 333 bolas?

Samar Imam Zaidi

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