Si P entonces Q es verdadero y también lo es P. Entonces Q no es necesariamente verdadero, ¿verdad?

No estoy seguro de cuál es la pregunta. Pero$P\implies Q$significa que tenemos uno de los$3$posibilidades, como se indica en la pregunta:

1. P es verdadera y Q es verdadera
2. P es falsa y Q es falsa
3. P es falsa y Q es verdadera

Y si$P$es cierto entonces debemos tener$1$, entonces$Q$es verdad.

'P implica Q' significa literalmente 'si P es verdadero, entonces Q es verdadero'. Entonces, si sabemos que P implica Q y P es verdadero, entonces Q también es verdadero.

Digamos que estaba demostrando que otras cosas son ciertas usando "Si P, entonces Q". Y le dijeron "Si P, entonces Q" es verdadero, pero NO le dijeron nada sobre P o Q (no le dijeron los valores de verdad de P o Q). Entonces harías la suposición de que se demostró que P es verdadera y Q es verdadera, ¿verdad? De lo contrario, la declaración "Si P, entonces Q" es un poco inútil en los casos en que P es falso, ¿verdad? (como en el caso 2 y caso 3 que escribí)

No, no harías esa suposición, porque$P\to Q$tampoco implica eso$P$o$Q$es verdad. Sí, en términos generales, mostrando$P\to Q$es inútil (y trivial) si sabes que$P$es falso, pero eso no nos exime de la responsabilidad de probar$P$para hacer uso de la implicación.

En la práctica, cuando un matemático demuestra$P\to Q$, suele ser cuando$P$y$Q$ambas son conjeturas no probadas que se cree que son ciertas. Esto puede ser un gran progreso, aunque no podemos concluir haber probado$P$o$Q,$ya que ahora sabemos que si logramos demostrar$P$entonces habremos probado$Q$también.

Por ejemplo, si fuera en 1990 y realmente quisiéramos ser la persona que finalmente probara el último teorema de Fermat, nos parecería muy interesante que unos cinco años antes se probara que$P\to Q,$dónde$P$es (un caso especial de) la conjetura de Taniyama-Shimura y$Q$es el último teorema de Fermat. Esto nos dice que si demostramos el último teorema de Fermat, una forma de hacerlo es demostrando la conjetura de Taniyama-Shimura. Entonces, si somos particularmente hábiles con las curvas elípticas, las formas modulares y similares, esta podría ser una estrategia atractiva. Y, de hecho, eso es lo que Andrew Wiles intentó y logró.

Ese es solo un ejemplo... esto sucede todo el tiempo y es en gran parte cómo progresan las matemáticas.

Otro ejemplo es que a menudo demostramos cosas de la forma$P\to Q$dónde$P$y$Q$tener parámetros. Por ejemplo$P$podría decir "$R$es un dominio integral finito" y$Q$podría decir "$R$es un campo". Es un teorema que$P\to Q,$y este teorema es de hecho inútil cuando$R$no es un dominio integral finito y es útil cuando$R$es uno. Pero de nuevo, esto no nos absuelve de tener que establecer que$R$es, de hecho, un dominio integral finito para usar este teorema para establecer que$R$es un campo

No podría argumentar eso desde una perspectiva de programación (que usa una lógica mayoritariamente idéntica). Los condicionales implican que ejecutará ese bloque de código, si la condición es verdadera. En otras palabras, la proposición de que el bloque de código se ejecutará es verdadera. Si el condicional es verdadero. Si$P$entonces$Q$es lo mismo que$Q$si$P$.

• Dejar$P$y$Q$ser declaraciones, posiblemente declaraciones compuestas, en un contexto específico. La función de verdad

  $$P\to Q$$ es falso cuando$P$es cierto y$Q$falso, y es verdadero en otro caso, en cuyo caso decimos “$P$ser cierto implica que$Q$es cierto ” o “ si $P$es cierto, entonces$Q$es verdad ” y escribe $$P\Rightarrow Q.\tag1$$

  Digamos que le dijeron que "si$P,$entonces$Q$" es cierto, pero dicho el valor de verdad de ninguno$P$ni$Q.$Entonces harías la suposición de que se demostró que$P$es cierto y$Q$es cierto, ¿verdad?

  No, no, declaración$(1)$no asume, ni le pide que asuma, esa declaración$P$es verdad; si no tenemos información sobre$P$'s verdad, entonces declaración$(1)$no nos ayuda a inferir si el enunciado$Q$es cierto y es inútil.

  Después de todo, declaración$(1)$no afirma, “$P$es verdad; como consecuencia$Q$es verdad."

• En el contexto de las matemáticas, la afirmación

  $$P(x) \Rightarrow Q(x)\tag2$$ típicamente significa “ si$P(x)$es cierto para algún valor de$x,$entonces$Q(x)$es cierto para el mismo valor de$x$”, es decir , que $$P(x)\to Q(x)$$ es universalmente cierto.

  Muchos teoremas matemáticos tienen esta forma. Aplicar tal teorema es básicamente afirmar que$P(c)$es cierto, y que desde$P(c)\Rightarrow Q(c),$por Modus Ponens,$Q(c)$por lo tanto debe ser cierto.

Por otra parte, el proceso de prueba de la afirmación$(1)$o$(2)$ implica suponer que$P$o$P(x)$es verdad.