Al reemplazar las variables de la proposición por su negación y cambiar los valores de verdad de todas las prop. variables, mostrar v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(\phi)=v^*(\phi^*)

Este es el ejercicio 2.28 de Propositional and Predicate Calculus: A Model of Argument de Derek Goldrei:

Para una fórmula construida usando los conectivos$\neg,\land,\lor$, dejar$\phi^*$construirse reemplazando cada variable proposicional en$\phi$por su negación.
(a) Para cualquier asignación de verdad$v$, dejar$v^*$Sea la asignación de verdad que da cada apoyo. variable el valor opuesto al dado por$v$, es decir

$$v^*=\begin{cases} T&\ \text{if}\ v(p)=F\\ F&\ \text{if}\ v(p)=T, \end{cases}$$ para todos los apoyos. Variables $p$. Muestra esa $v(\phi)=v^*(\phi^*)$.
(b) (i) Use el resultado de la parte (a) para demostrar que $\phi$es una tautología iff $\phi^*$es una tautología.
$\hspace{25mu}$(ii) ¿Es cierto que $\phi$es una contradicción si $\phi^*$es una contradiccion?

Relacionado: Misma pregunta sin (b) .

Ya he hecho la parte (a) por inducción fuerte sobre la longitud de$\phi$:

Para cada$n\in\mathbb{N}$, dejar$P(n)$sea ​​el enunciado.$P(0)$es claramente cierto. Suponer$P(i)$es cierto para$0\le i\le k$. Dejar$\phi$ser una fórmula de longitud$k+1$, entonces$\phi$es una de las tres formas$\neg\theta$,$(\theta\land\psi)$, o$(\theta\lor\psi)$. Suponer$\phi$es de la forma$\neg\theta$.$\theta$tiene longitud$k$Entonces por$P(k)$,$v(\theta)=v^*(\theta^*)$. Supongamos que para cualquier asignación de verdad$v$,$v(\neg\theta)=T$, entonces$v(\theta)=F=v^*(\theta^*)$. Desde$v$y$v^*$son asignaciones de verdad,$v(\neg\theta)=T=v^*(\neg\theta^*)$y$P(k+1)$es verdad; de manera similar si$v^*(\neg\theta^*)=T$. los casos para$\phi$de las dos formas restantes son similares. Por fuerte inducción, para cada$n\in\mathbb{N}$,$P(n)$es verdad.

Tengo problemas con la parte (b). Lo que he hecho es:

Suponer$\phi$es una tautología, entonces para cualquier asignación de verdad$v$,$v(\phi)=T$. por (un),$v^*(\phi^*)=T$. Desde$v$es cualquier asignación de verdad,$v^*$es también cualquier asignación de verdad (para cualquier$v^*$podemos elegir el correspondiente$v$), entonces$\phi^*$es una tautología. Y lo mismo para (ii).

Alternativamente, parece que si$\phi$es una tautología, debe ser de la forma$(\theta\lor\neg\theta)$, entonces por (a),$v(\theta)=v^*(\theta^*)$, por definición de asignación de verdad,$v(\neg\theta)=v^*(\neg\theta^*)$, y por lo tanto$v((\theta\lor\neg\theta))=v((\theta^*\lor\neg\theta^*))=v(\phi^*)$. Y del mismo modo para$\phi$contradicción de la forma$(\theta\land\neg\theta)$.

No estoy seguro de que ninguno de los métodos sea correcto, ¿qué me estoy perdiendo aquí?