Prueba de una implicación tautológica en Introducción a la lógica formal de Peter Smith

Tienes la idea correcta, pero hay algunos pequeños errores. En primer lugar,$(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$significa que bajo todas las interpretaciones en las que ambos$\alpha \leftrightarrow \beta$y$\beta \leftrightarrow \gamma$son verdaderas,$\alpha \leftrightarrow \gamma$también es cierto (En la lógica proposicional, se da una interpretación mediante la asignación de valores de verdad a todas las letras proposicionales, lo que Smith llama una valoración. En la lógica cuantificada, las interpretaciones son más complicadas. No estoy seguro de dónde se encuentra en el libro de Smith, así que No estoy seguro de a qué tipo de lógica te refieres).

Para probar algo acerca de todas las interpretaciones, debe comenzar diciendo que va a considerar una interpretación arbitraria. Así que en tu primera oración, cuando dices que$\alpha \leftrightarrow \beta$y$\beta \leftrightarrow \gamma$son verdaderas, lo que quiere decir es que son verdaderas bajo la interpretación que se está considerando . Ahora tienes que demostrar que$\alpha \leftrightarrow \gamma$es cierto bajo esa interpretación.

Entonces dices que vas a considerar dos casos, pero lo que presentas no son realmente casos. Más bien, lo que debe decir es que va a probar dos afirmaciones. La primera afirmación es que$\alpha \to \gamma$es verdadera bajo la interpretación que está considerando. asumes que$\alpha$es verdadera bajo la interpretación que está considerando y demuestre que$\gamma$también debe ser cierto, por lo que establece que$\alpha \to \gamma$es cierto bajo esa interpretación. Pero usted no ha demostrado en este punto que para cada interpretación bajo la cual$\alpha$es verdad,$\gamma$es cierto, así que no deberías decir$\alpha \vDash \gamma$. Lo que deberías decir es que$\alpha \to \gamma$es verdadera en la interpretación bajo consideración. De manera similar, el segundo argumento establece la afirmación de que$\gamma \to \alpha$es cierto bajo esa interpretación, y las dos afirmaciones juntas implican que$\alpha \leftrightarrow \gamma$es cierto, como se requiere.

Observe que no ha probado que$\alpha \leftrightarrow \gamma$es cierto bajo todas las interpretaciones; solo ha demostrado que es cierto bajo todas las interpretaciones en las que$\alpha \leftrightarrow \beta$y$\beta \leftrightarrow \gamma$ambos son verdaderos. Entonces no has mostrado$\vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$; solo has mostrado$(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$.

No he leído el libro, pero$\vDash$indica una vinculación semántica y exige el uso de un árbol de verdad, una tabla de verdad o una prueba metalógica. Parece que quieres una prueba metalógica. Para hacer eso necesitamos demostrar que no existe interpretación donde las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Tendemos a hacer esto a través de reductio ad absurdum/prueba por contradicción, y la función de valoración. Sin embargo, diferentes autores abordan las cosas de diferentes maneras.

Prueba

Probaremos que$\{\alpha\leftrightarrow\beta,~\beta\leftrightarrow\gamma\}\vDash\alpha\leftrightarrow\gamma$.

Supongamos por reducción que$v(\alpha\leftrightarrow\beta)=v(\beta\leftrightarrow\gamma)=1$y$v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$. Como$v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$entonces$v(\alpha)\neq v(\gamma)$. Wlog, vamos$v(\alpha)=1$, entonces$v(\beta)=1$, lo que significa$v(\gamma)=v(\alpha)=1$; una contradicción